Problema 3 · Álgebra Lineal UPC Juny 2017

Problema 3 (4 punts). Transformacions lineals, matriu associada i composició

Es considera l'aplicació $f: \mathbb{R}^3 \to M_{2\times 2}$ definida per:

$$f(x, y, z) = \begin{pmatrix} x & x+y \\ x+y+z & x^k \end{pmatrix}$$

on $k$ és una constant real.

a.

Demostra que en el supòsit $k = 0$, $f$ no és una aplicació lineal. (1 p)

b.

Suposant a partir d'aquest punt que $k = 1$, troba una base i calcula la dimensió tant del nucli ($\operatorname{Ker} f$) com de la imatge ($\operatorname{Im} f$). (1 p)

c.

Sigui $g: M_{2\times 2} \to P_2(x)$ l'aplicació lineal descrita per la matriu associada respecte de les bases canòniques:

$$G = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

on les bases canòniques de referència són:

$$B_{c, M_{2\times 2}} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}, \quad B_{c, P_2(x)} = \{1, x, x^2\}$$

Amb la informació donada, troba la imatge $g\left(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\right)$ expressant el polinomi de manera explícita (no en components respecte de cap base). (1 p)

d.

Determina la matriu associada a la composició $g \circ f$ referida a les bases canòniques de sortida i arribada. (1 p)