Examen de Álgebra Lineal UPC 2017 · Febrer 2017 (1r Semestre)

Exercici 1 (4 punts). Canvis de base i subespais en l'espai de matrius $M_{3\times 2}$

En l'espai vectorial de les matrius $M_{3\times 2}(\mathbb{R})$ es defineix un subespai vectorial $F$. Es disposa de la següent informació:

La matriu de canvi de base en $M_{3\times 2}(\mathbb{R})$ de la base $B$ a la base canònica $C$ és:

$$C_{BC} = \begin{pmatrix} 6 & 1 & 0 & 0 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\ -1 & 0 & 1 & 3 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$

La base canònica de $M_{3\times 2}(\mathbb{R})$ ve donada per:

$$C = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}$$

A més, es coneixen dues bases $U$ i $V$ del subespai $F$:

$$U = \left\{ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \right\}, \quad V = \left\{ \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \right\}$$

I es considera la matriu:

$$\vec{m} = \begin{pmatrix} 6 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

a)

Indica quins són els vectors que formen la base $B$ i expressa la matriu $\vec{m}$ en coordenades respecte d'aquesta base $B$. [0,5 punts]

b)

Determina les components de la matriu $\vec{m}$ respecte de la base $U$. [0,5 punts]

$\lambda =$

$\mu =$

c)

Troba la matriu de canvi de base de $V$ a $U$ ($C_{VU}$), justificant cadascun dels passos seguits. [1,25 punts]

d)

Calcula les components de $\vec{m}$ en la base $V$ emprant la matriu trobada a l'apartat c). [1,25 punts]

$v_1 =$

$v_2 =$

e)

Troba novament les components de $\vec{m}$ en la base $V$, però resolent directament el sistema sense utilitzar cap matriu de canvi de base. [0,5 punts]

$\lambda =$

$\mu =$

Exercici 2 (6 punts). Estudi d'aplicacions lineals en espais de polinomis

Es defineix l'aplicació lineal $f: P_2(x) \longrightarrow P_2(x)$ mitjançant l'assignació:

$$f(a + bx + cx^2) = (a - b) + (a + b)x + (a + c)x^2$$

I es consideren les següents bases de $P_2(x)$:

$$B = \{1 + x^2,\, 1 + x,\, 1\}, \quad D = \{x^2,\, x,\, 1\}$$

a)

Troba la matriu associada a l'aplicació $f$ prenent la base $B$ tant a l'espai origen com al destí ($F_{BB}$). [1,5 punts]

b)

Determina de forma justificada si $f$ és una aplicació injectiva, exhaustiva i/o bijectiva. [0,5 punts]

Es considera ara una segona aplicació lineal $g: P_2(x) \longrightarrow \mathbb{R}^2$, la matriu associada de la qual en la base $D$ d'origen i la base $E$ de destí és:

$$G_{DE} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \text{amb } E = \{(0,2), (1,0)\}$$

c)

Calcula la imatge mitjançant $g$ del polinomi $\vec{p} = 4 + x + x^2$. Dona el vector final com a element de $\mathbb{R}^2$, no en components d'una base. [1,25 punts]

$g(\vec{p}) = ($

,

$)$

d)

Si s'anomena $h(x) = (g \circ f)(x)$ a la composició de les dues aplicacions, determina la matriu associada $H_{BE}$ en base $B$ d'origen i base $E$ de destí. [1,5 punts]

e)

Troba una base i la dimensió del nucli de l'aplicació lineal $g$ ($\mathrm{Ker}(g)$). Expressa la base com a polinomis, sense deixar el resultat en components respecte de cap base. [1,25 punts]