Problema 2 · Álgebra Lineal UPC Juny 2017

Problema 2 [3 punts]. Estudi de subespais a l'espai de matrius M 2×2

Sigui l'espai vectorial de les matrius quadrades d'ordre dos, $M_{2\times 2}$, i considerem el subconjunt:

$$F = \left\{ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in M_{2\times 2} \;\middle|\; a = b^2,\; c = -2d \right\}$$

a)

Justifica si $F$ constitueix un subespai vectorial de $M_{2\times 2}$. [1 p]

b)

Considerant un subespai $G \subset M_{2\times 2}$ de dimensió 2, del qual es proposa la família:

$$B = \left\{ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \right\}$$

Raona si el conjunt $B$ pot ser una base de $G$. [1 p]

c)

Dedueix la forma general que presenta qualsevol matriu $A$ que pertanyi al subespai $G$ generat per $B$. [1 p]