Problema 3 · Álgebra Lineal UPC Juny 2017

a. Escriviu l'expressió del senyal de sortida del modulador $s_i(t)$ en components respecte a la base funcional $B = \{\cos(\omega_0 t), \sin(\omega_0 t)\}$.

Solución: $s_i(t) = P_i \cos(\omega_0 t) + Q_i \sin(\omega_0 t)$ / $s_i(t)|_B = (P_i, Q_i)$

b. Quina magnitud es calcula exactament a la branca superior del demodulador? Per quina raó geomètrica o matemàtica es realitza aquesta operació? Justifiqueu la resposta algebraicament, relacionant-la amb la teoria de projeccions en espais euclidians.

Solución: Calcula el coeficient de Fourier o projecció ortogonal del senyal rebut sobre la portadora $\cos(\omega_0 t)$: $P'_i = \frac{\langle s'(t), \cos(\omega_0 t) \rangle}{\langle \cos(\omega_0 t), \cos(\omega_0 t) \rangle} = K \int_T s'(t) \cos(\omega_0 t) \, dt$.

c. Quina operació concreta duu a terme el «bloc de decisió» del demodulador i quina n'és la finalitat pràctica?

Solución: Calcula la distància euclidiana $d = \sqrt{(P'_i - P_k)^2 + (Q'_i - Q_k)^2}$ i tria el símbol més proper per mínima distància (màxima versemblança).