Problema 1 · Álgebra Lineal UPC Juny 2017

Sigui $V$ l'espai vectorial dels polinomis de grau menor o igual a 2 (amb elements de la forma $p(t) = a + bt + ct^2$), proveït del producte escalar:

$$\langle f, g \rangle = \int_0^1 f(t)g(t)\,dt$$

Considerem el subespai $S$ generat pels vectors $\{1, 2t, t - 2\}$.

a.

Trobeu una base ortonormal de $S$. [1,75 punts]

Indiqueu els dos polinomis que formen la base ortonormal $B'' = \{u_1(t), u_2(t)\}$ obtinguda a partir de la base ordenada $\{1, 2t\}$:

b.

Determineu una base ortogonal de l'espai complementari ortogonal $S^\perp$. [1,75 punts]

Indiqueu un polinomi no nul $q(t)$ que formi una base de $S^\perp$: