Examen de Álgebra Lineal UPC 2016 · Gener 2016 (1r Semestre)

Es considera el següent subconjunt de l'espai vectorial de matrius $M_{2\times 3}$:

$$F = \left\{ A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{pmatrix} \in M_{2\times 3} \;\middle|\; a = 2b + c,\; d = -c,\; e = c - b \right\}$$

a)

Demostra que $F$ constitueix un subespai vectorial de $M_{2\times 3}$. [0,5 p]

b)

Determina una base de $F$ i indica la seva dimensió. [0,5 p]

Es considera el següent subconjunt de l'espai vectorial de matrius $M_{2\times 3}$:

$$F = \left\{ A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{pmatrix} \in M_{2\times 3} \;\middle|\; a = 2b + c,\; d = -c,\; e = c - b \right\}$$

c. Considera la base de $F$ donada per:

$$B_1 = \left\{ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}$$

Si $B_2$ és una altra base de $F$ i la matriu de canvi de base de $B_2$ a $B_1$ ve donada per:

$$C_{B_2 B_1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

c)

Calcula de forma explícita les matrius que formen la base $B_2 = \{v_1, v_2, v_3\}$. [1 p]

d)

Conegudes les coordenades d'una matriu $X|_{B_2} = (2, 1, 1)$, troba $X|_{B_1}$ mitjançant dos procediments diferents. [2 p]

$\lambda_1 =$ $\lambda_2 =$ $\lambda_3 =$

Exercici 2 (6 punts). Aplicacions lineals, composició i nucli

Considerem les aplicacions lineals $f: M_{2\times 2} \rightarrow P_2(x)$ i $g: P_2(x) \rightarrow \mathbb{R}^2$, així com les següents bases dels respectius espais:

Base de $M_{2\times 2}$: $B = \left\{\vec{b}_1 = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \vec{b}_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \vec{b}_3 = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \vec{b}_4 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\right\}$

Base de $P_2(x)$: $U = \{x^2, 1, x\}$

Bases de $\mathbb{R}^2$: $V = \{(2,0), (3,1)\}$ i $W = \{(1,0), (0,1)\}$

Coneixem l'acció de les aplicacions lineals sobre certs vectors:

$f(\vec{b}_1) = 4,\ f(\vec{b}_2) = 2 + x,\ f(\vec{b}_3) = 2 - x + x^2,\ f(\vec{b}_4) = 1 + x - x^2$

$g(1) = (1,1),\ g(x + 1) = (1,0),\ g(x^2) = (0,-1)$

a)

Troba la matriu associada a l'aplicació $f$ prenent la base $B$ a l'espai d'origen i la base $U$ al de destí. [1 p]

b)

Calcula la imatge de la matriu $\vec{m} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ utilitzant la matriu trobada a l'apartat a). No expressis el resultat en components, sinó com a polinomi. [0,75 p]

c)

Troba la imatge de la mateixa matriu $\vec{m} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ aplicant únicament les propietats de linealitat de $f$ (sense emprar la matriu de l'apartat a). Dona el resultat explícit en forma de polinomi. [0,75 p]

d)

Determina la matriu de l'aplicació $g$ prenent $U$ com a base d'origen i $V$ com a base de destí. [1 p]

e)

Calcula la matriu associada a l'aplicació composició $g \circ f$ prenent com a base d'origen $B$ i com a base de destí $W$. [1,5 p]

f)

Calcula la dimensió i una base del nucli de l'aplicació $g$, $\ker(g)$. Expressa els polinomis de la base de forma explícita, no en components. [1 p]