Examen de Álgebra Lineal UPC 2016 · Juny

Considerem l'espai vectorial $P_2[x]$ dels polinomis de grau menor o igual que 2 amb coeficients reals, i els següents conjunts de vectors:

$$B_1 = \{1, a + x, 1 + x + x^2\} \quad (a \in \mathbb{R})$$$$B_2 = \{b + x^2, (1 + b) + x^2, b + x\} \quad (b \in \mathbb{R})$$

on $B_1$ és una base de $P_2[x]$.

a)

Determineu per a quins valors del paràmetre real $b$ el conjunt $B_2$ constitueix una base de $P_2[x]$. [0,5 punts]

Considerem ara l'espai vectorial de les matrius reals quadrades d'ordre 2, $M_{2\times 2}$, i el subconjunt:$$G = \left\{ A \in M_{2\times 2} \;\middle|\; A \cdot B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \right\}, \quad \text{amb } B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$

b)

Demostreu si $G$ és un subespai vectorial de $M_{2\times 2}$. En cas afirmatiu, determineu-ne una base i la seva dimensió. [1,5 punts]

Sí

No

Considerem l'espai vectorial $P_2[x]$ dels polinomis de grau menor o igual que 2 amb coeficients reals, i els següents conjunts de vectors:

$$B_1 = \{1, a + x, 1 + x + x^2\} \quad (a \in \mathbb{R})$$$$B_2 = \{b + x^2, (1 + b) + x^2, b + x\} \quad (b \in \mathbb{R})$$

on $B_1$ és una base de $P_2[x]$.

Fixat el valor $b = 0$, responeu als apartats següents:

a)

Trobeu la matriu de canvi de base de $B_1$ a $B_2$, $P_{B_1 \to B_2}$. [1 punt]

b)

Donat el polinomi $p(x) \in P_2[x]$ expressat en components respecte de $B_1$ com $p(x)|_{B_1} = (1, 0, 2)^T$, calculeu les seves coordenades en la base $B_2$. [1 punt]

(,,) T

c)

Trobeu el valor del paràmetre $a$ sabent que el polinomi $q(x) = 2 - x^2$ té coordenades $q(x)|_{B_1} = (0, 1, -1)^T$ en la base $B_1$. [1 punt]

Problema 2 (5 punts). Aplicacions lineals i composició

Sigui l'aplicació $f: M_{2\times 2} \to P_1[x]$ definida com:

$$f\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = (a+b) + (b+c)x$$

i considerem les bases $B_1$ de $M_{2\times 2}$ i $B_2$ de $P_1[x]$ següents:

$$B_1 = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}, \quad B_2 = \{ 1+x, x \}$$

a.

Demostreu que $f$ és una aplicació lineal. [0,5 punts]

b.

Trobeu la matriu associada a l'aplicació $f$ considerant $B_1$ com a base de partida i $B_2$ com a base d'arribada, $F_{B_1 B_2}$. [1 punt]

c.

Calculeu una base i la dimensió de $\ker(f)$ (expresseu els vectors com a matrius, no en components). [0,75 punts]

d.

Calculeu una base i la dimensió de $\operatorname{Im}(f)$ (expresseu el resultat com a polinomis). [0,75 punts]

D'altra banda, considerem una aplicació lineal $g: P_2[x] \to M_{2\times 2}$ que té per matriu associada $G_{B_3 B_C}$:

$$G_{B_3 B_C} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 4 & -3 & 2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$

respecte a la base d'origen $B_3 = \{-2, 1+x, x^2\}$ de $P_2[x]$ i la base canònica de destí $B_C$ de $M_{2\times 2}$:

$$B_C = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}$$

e. (2.a)

Determineu una base i la dimensió de $\ker(g)$ (expresseu els vectors com a polinomis). [0,5 punts]

f. (2.b)

Donat el polinomi $p(x) = 2x^2 - x + 1$, expliqueu detalladament el procediment per calcular $f(g(p(x)))$ sense necessitat de fer els càlculs numèrics finals. [0,75 punts]

g. (2.c)

Donada la matriu $B = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$, expliqueu com calcularíeu $g(f(B))$ o justifiqueu si és possible fer-ho. [0,75 punts]