Exercici 2 · Álgebra Lineal UPC 2016

Exercici 2 (6 punts). Aplicacions lineals, composició i nucli

Considerem les aplicacions lineals $f: M_{2\times 2} \rightarrow P_2(x)$ i $g: P_2(x) \rightarrow \mathbb{R}^2$, així com les següents bases dels respectius espais:

Base de $M_{2\times 2}$: $B = \left\{\vec{b}_1 = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \vec{b}_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \vec{b}_3 = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \vec{b}_4 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\right\}$

Base de $P_2(x)$: $U = \{x^2, 1, x\}$

Bases de $\mathbb{R}^2$: $V = \{(2,0), (3,1)\}$ i $W = \{(1,0), (0,1)\}$

Coneixem l'acció de les aplicacions lineals sobre certs vectors:

$f(\vec{b}_1) = 4,\ f(\vec{b}_2) = 2 + x,\ f(\vec{b}_3) = 2 - x + x^2,\ f(\vec{b}_4) = 1 + x - x^2$

$g(1) = (1,1),\ g(x + 1) = (1,0),\ g(x^2) = (0,-1)$

a)

Troba la matriu associada a l'aplicació $f$ prenent la base $B$ a l'espai d'origen i la base $U$ al de destí. [1 p]

b)

Calcula la imatge de la matriu $\vec{m} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ utilitzant la matriu trobada a l'apartat a). No expressis el resultat en components, sinó com a polinomi. [0,75 p]

c)

Troba la imatge de la mateixa matriu $\vec{m} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ aplicant únicament les propietats de linealitat de $f$ (sense emprar la matriu de l'apartat a). Dona el resultat explícit en forma de polinomi. [0,75 p]

d)

Determina la matriu de l'aplicació $g$ prenent $U$ com a base d'origen i $V$ com a base de destí. [1 p]

e)

Calcula la matriu associada a l'aplicació composició $g \circ f$ prenent com a base d'origen $B$ i com a base de destí $W$. [1,5 p]

f)

Calcula la dimensió i una base del nucli de l'aplicació $g$, $\ker(g)$. Expressa els polinomis de la base de forma explícita, no en components. [1 p]