Examen de Álgebra Lineal UPC 2020 · Reavaluació (Curs 2020-2021)

Problema 1 (1 punt). Sistema lliure o lligat

Sigui $E$ un espai vectorial real i considerem un conjunt de vectors linealment independents $B = \{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_m\} \subset E$. Es defineix el sistema:

$$S = \{\vec{u}_1, \vec{u}_2, \ldots, \vec{u}_m\}, \quad \text{on } \vec{u}_i = \sum_{j=1}^i \vec{v}_j \quad \forall i = 1, \ldots, m$$

Raoneu i justifiqueu si el sistema $S$ és lliure o lligat.

Problema 2 (2 punts). Càlcul de determinant

Avalueu el valor del següent determinant d'ordre 4:

$\begin{vmatrix}

a_1 + b_1 & a_2 + b_1 & a_3 + b_1 & a_4 + b_1 \\

a_1 + b_2 & a_2 + b_2 & a_3 + b_2 & a_4 + b_2 \\

a_1 + b_3 & a_2 + b_3 & a_3 + b_3 & a_4 + b_3 \\

a_1 + b_4 & a_2 + b_4 & a_3 + b_4 & a_4 + b_4

\end{vmatrix}$

Problema 3 [2 punts]. Estudi d'una forma quadràtica

Considerem la forma quadràtica definida a l'espai $\mathbb{R}^3$ per l'expressió:

$$\forall \vec{x} = (x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3, \quad q_g(x_1, x_2, x_3) = 3(x_1)^2 + 2x_1x_2 - 4x_1x_3 + (x_2)^2 - 8x_2x_3 + 8(x_3)^2$$

a)

Trobeu l'expressió de la forma bilineal simètrica associada $g(\vec{x}, \vec{y})$ per a tot parell de vectors $\vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}^3$. [0,25 punts]

b)

Determineu la matriu associada a $g$ en la base canònica $V$. [0,25 punts]

c)

Obtingueu una base $N$ en la qual la forma $g$ prengui la forma normal. Proporcioneu la matriu de canvi de base corresponent i justifiqueu si $g$ és un producte escalar. [1,5 punts]

$d_1 =$

$d_2 =$

$d_3 =$

Sí

No

Problema 4 (2 punts). Projecció ortogonal i subespais

Considerem l'espai euclidià real $(E, \langle\cdot\mid\cdot\rangle)$ amb $\dim_{\mathbb{R}} E = 3$, referit a una base ortonormal $V$. Sigui $W$ un subespai d'$E$ de dimensió $\dim_{\mathbb{R}} W = 2$, i sigui un vector $\vec{z} \in E$ amb components respecte a $V$ donades per $\vec{z}_V = (11, -2, 2)$. Es coneix que la projecció ortogonal de $\vec{z}$ sobre $W$ és $P_W(\vec{z}) = \vec{y}$, amb components $\vec{y}_V = (3, 0, -4)$.

Determineu una base ortogonal de $W^\perp$ i una base ortogonal de $W$.

a)

b)

Sigui l'espai euclidià real $(\mathbb{R}^3, \langle\cdot \mid \cdot\rangle)$ i sigui $V$ la base canònica, que és ortonormal. Considerem un endomorfisme $Q$ la matriu associada del qual en la base $V$ és:

$$[Q]_V = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & -\sqrt{2} & \sqrt{2} \\ \sqrt{2} & 1 & 1 \\ -\sqrt{2} & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Determineu la tipologia d'operador que és $Q$. Trobeu, si és possible, una base ortonormal $N$ en la qual $Q$ adopti la forma diagonal o canònica, segons escaigui, i especifiqueu dita forma canònica.

a)

b)

c)