Problema 5 · Álgebra Lineal UPC 2020

Sigui l'espai euclidià real $(\mathbb{R}^3, \langle\cdot \mid \cdot\rangle)$ i sigui $V$ la base canònica, que és ortonormal. Considerem un endomorfisme $Q$ la matriu associada del qual en la base $V$ és:

$$[Q]_V = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & -\sqrt{2} & \sqrt{2} \\ \sqrt{2} & 1 & 1 \\ -\sqrt{2} & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Determineu la tipologia d'operador que és $Q$. Trobeu, si és possible, una base ortonormal $N$ en la qual $Q$ adopti la forma diagonal o canònica, segons escaigui, i especifiqueu dita forma canònica.

a)

b)

c)