Problema 4 · Álgebra Lineal UPC 2020

Problema 4 (2 punts). Projecció ortogonal i subespais

Considerem l'espai euclidià real $(E, \langle\cdot\mid\cdot\rangle)$ amb $\dim_{\mathbb{R}} E = 3$, referit a una base ortonormal $V$. Sigui $W$ un subespai d'$E$ de dimensió $\dim_{\mathbb{R}} W = 2$, i sigui un vector $\vec{z} \in E$ amb components respecte a $V$ donades per $\vec{z}_V = (11, -2, 2)$. Es coneix que la projecció ortogonal de $\vec{z}$ sobre $W$ és $P_W(\vec{z}) = \vec{y}$, amb components $\vec{y}_V = (3, 0, -4)$.

Determineu una base ortogonal de $W^\perp$ i una base ortogonal de $W$.

a)

b)