Problema 3 · Álgebra Lineal UPC 2020

Tema: Formes bilineals i quadràtiques: forma canònica i normal · Del examen Examen de Reavaluació (Curs 2020-2021) (2020)

Enunciado

Problema 3 [2 punts]. Estudi d'una forma quadràtica

Considerem la forma quadràtica definida a l'espai R3\mathbb{R}^3 per l'expressió:

∀x⃗=(x1,x2,x3)∈R3,qg(x1,x2,x3)=3(x1)2+2x1x2−4x1x3+(x2)2−8x2x3+8(x3)2\forall \vec{x} = (x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3, \quad q_g(x_1, x_2, x_3) = 3(x_1)^2 + 2x_1x_2 - 4x_1x_3 + (x_2)^2 - 8x_2x_3 + 8(x_3)^2

a)

Trobeu l'expressió de la forma bilineal simètrica associada g(x⃗,y⃗)g(\vec{x}, \vec{y}) per a tot parell de vectors x⃗,y⃗∈R3\vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}^3. [0,25 punts]

b)

Determineu la matriu associada a gg en la base canònica VV. [0,25 punts]

c)

Obtingueu una base NN en la qual la forma gg prengui la forma normal. Proporcioneu la matriu de canvi de base corresponent i justifiqueu si gg és un producte escalar. [1,5 punts]

d1=d_1 =

d2=d_2 =

d3=d_3 =

Sí

No

Enunciado: Problema 3 · Álgebra Lineal UPC 2020

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Trobeu l'expressió de la forma bilineal simètrica associada g(x, y) per a tot parell de vectors

Solución: 3x1y1+x1y2+x2y1−2x1y3−2x3y1+x2y2−4x2y3−4x3y2+8x3y33x_1y_1 + x_1y_2 + x_2y_1 - 2x_1y_3 - 2x_3y_1 + x_2y_2 - 4x_2y_3 - 4x_3y_2 + 8x_3y_3

b. Matriu associada a g en la base canònica: fila 1, columna 1

Solución: 3

b. Matriu associada a g en la base canònica: fila 1, columna 2

Solución: 1

b. Matriu associada a g en la base canònica: fila 1, columna 3

Solución: -2

b. Matriu associada a g en la base canònica: fila 2, columna 1

Solución: 1

b. Matriu associada a g en la base canònica: fila 2, columna 2

Solución: 1

b. Matriu associada a g en la base canònica: fila 2, columna 3

Solución: -4

b. Matriu associada a g en la base canònica: fila 3, columna 1

Solución: -2

b. Matriu associada a g en la base canònica: fila 3, columna 2

Solución: -4

b. Matriu associada a g en la base canònica: fila 3, columna 3

Solución: 8

c. Primer element diagonal de la forma normal d_1

Solución: 1

c. Segon element diagonal de la forma normal d_2

Solución: 1

c. Tercer element diagonal de la forma normal d_3

Solución: -1

c. Justifiqueu si g és un producte escalar

Solución: No

c. Obtingueu una base N en la qual la forma g prengui la forma normal. Proporcioneu la matriu de canvi de base corresponent

Solución: [Id⁡]NV=(01/2−1/101−1/25/10001/10)[\operatorname{Id}]_{NV} = \begin{pmatrix} 0 & 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{10} \\ 1 & -1/\sqrt{2} & 5/\sqrt{10} \\ 0 & 0 & 1/\sqrt{10} \end{pmatrix}

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.