Examen de Álgebra Lineal UPC 2020 · E1 Variant A (curs 2020-2021)

P1 (4 punts). Bases de subespais vectorials a $\mathbb{R}^4$

Considerem els tres subespais següents de l'espai vectorial real $\mathbb{R}^4$:

$$F = \langle (3,0,-1,2), (1,2,1,0), (4,-1,-2,3) \rangle_{\mathbb{R}}$$ $$G = \{ (x_1, x_2, x_3, x_4) \in \mathbb{R}^4 \mid x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0 \}$$ $$L = \{ (x_1, x_2, x_3, x_4) \in \mathbb{R}^4 \mid x_1 + 2x_2 - 2x_3 - x_4 = 0;\ 2x_1 - x_2 + x_3 - 2x_4 = 0;\ 3x_1 + x_2 - x_3 - 3x_4 = 0 \}$$

Determineu una base per a cadascun dels subespais vectorials següents:

a.

b.

c.

d.

e.

P2 (3 punts). Estudi de la invertibilitat de C i D

Donada la matriu de dimensions $3 \times 4$:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

Definim les matrius $C = A \cdot A^T$ i $D = A^T \cdot A$. Justifiqueu si $C$ i $D$ són matrius invertibles i, en cas que ho siguin, calculeu la seva matriu inversa.

1.

És $C$ una matriu invertible?

Sí

No

2.

És $D$ una matriu invertible?

Sí

No

P3 (3 punts). Interpolació polinòmica de grau 3

Siguin $b_1, b_2, b_3, b_4$ valors reals arbitraris.

a.

Justifiqueu que existeix un únic polinomi amb coeficients reals $p(x) = p_0 + p_1x + p_2x^2 + p_3x^3$ que satisfà les condicions:

$$p(1) = b_1,\quad p(2) = b_2,\quad p(3) = b_3,\quad p(4) = b_4$$

b.

En el cas particular en què $b_1 = 1$, $b_2 = 0$, $b_3 = 1$ i $b_4 = 0$, calculeu el valor del coeficient $p_3$.