Examen de Fundamentos de Estadística UPC 2017 · Recull d'exàmens de Fundaments d'Estadística (Primer Parcial)

Model 1 - Exercici 1. Passiu corrent i intervals de confiança

A partir dels estats financers d'una mostra de 935 companyies espanyoles de distribució (exercici 2017, base SABI), s'analitza la variable perc_Passiu_Corrent (proporció del passiu corrent sobre el passiu total). Es presenten les següents sortides de R:

a)

Quina valoració es pot fer respecte a l'afirmació d'algú que sosté que la mitjana poblacional d'aquest percentatge és exactament 0,8000?

b)

Assumint que la desviació típica de la població és 0,2, quines dimensions mostrals serien necessàries per aconseguir un marge d'error màxim de 0,01 amb nivells de confiança del 99% i del 95% respectivament?

Model 1 - Exercici 2. Taula de contingència de solvència

Model 1 - Exercici 1. Passiu corrent i intervals de confiança

A partir dels estats financers d'una mostra de 935 companyies espanyoles de distribució (exercici 2017, base SABI), s'analitza la variable perc_Passiu_Corrent (proporció del passiu corrent sobre el passiu total). Es presenten les següents sortides de R:

Amb les mateixes 935 empreses de distribució, s'estudia la variable dicotòmica solvent_a_ct (val TRUE si l'actiu corrent supera el passiu corrent, i FALSE altrament) en funció del tipus d'activitat comercial. Es disposa de la següent taula creuada:

El test de Pearson associat proporciona un estadístic $\chi^2 = 71{,}81947$ amb 7 graus de llibertat i $p = 6{,}33 \cdot 10^{-13}$.

a)

Quines modalitats de distribució presenten proporcions especialment elevades o reduïdes d'empreses solvents a curt termini en relació a la mitjana global?

b)

Verifiqueu si és procedent calcular un coeficient d'associació adequat, calculeu-lo si escau i doneu la seva interpretació.

Model 1 - Exercici 1. Passiu corrent i intervals de confiança

A partir dels estats financers d'una mostra de 935 companyies espanyoles de distribució (exercici 2017, base SABI), s'analitza la variable perc_Passiu_Corrent (proporció del passiu corrent sobre el passiu total). Es presenten les següents sortides de R:

Model 1 - Exercici 3. Comparació de proporcions sectorials

A partir de la mostra anterior de 935 empreses de distribució, es disposa de la distribució per activitats i de dues estimacions d'interval al 99% de confiança obtingudes amb R:

Codi_activitat

Frequency

Percent

Ali_Beg_Tab · 129 · 13.797

Alt · 185 · 19.786

Benzin · 45 · 4.813

Equip_Llar · 156 · 16.684

General · 166 · 17.754

Lleu_Cult · 57 · 6.096

TIC · 65 · 6.952

Vest_Cal · 132 · 14.118

Total · 935 · 100.000

> t.test(Codi_activitat == "Equip_Llar", conf.level =.99)

99 percent confidence interval:

0.1353565 0.1983334

sample estimates: mean of x: 0.1668449

> t.test(Codi_activitat == "Lleu_Cult", conf.level =.99)

99 percent confidence interval:

0.04075542 0.08116972

sample estimates: mean of x: 0.06096257

a.

Amb una seguretat del 99%, es pot concloure que en la població hi ha una proporció més alta d'empreses d'equipament de la llar que de lleure i cultura?

b.

Comproveu si es verifiquen les condicions tècniques per a la validesa d'aquests intervals de confiança.

Model 1 - Exercici 1. Passiu corrent i intervals de confiança

A partir dels estats financers d'una mostra de 935 companyies espanyoles de distribució (exercici 2017, base SABI), s'analitza la variable perc_Passiu_Corrent (proporció del passiu corrent sobre el passiu total). Es presenten les següents sortides de R:

Model 1 - Exercici 4. Probabilitats condicionades en dispositius

En una enquesta adreçada a estudiants del grau d'Economia sobre equipament tecnològic, es detecta que un 35% disposa tant d'iPhone com d'iPad, un 75% té iPhone i un 40% disposa d'iPad. Si seleccionem un alumne aleatòriament, calculeu:

a.

b.

c.

Són estadísticament independents els successos «tenir iPhone» i «tenir iPad»? Justifiqueu-ho formalment.

Sí

No

Model 1 - Exercici 1. Passiu corrent i intervals de confiança

A partir dels estats financers d'una mostra de 935 companyies espanyoles de distribució (exercici 2017, base SABI), s'analitza la variable perc_Passiu_Corrent (proporció del passiu corrent sobre el passiu total). Es presenten les següents sortides de R:

Model 1 - Exercici 5. Càrrega i aforament de l'ascensor

Un ascensor col·locat en una gran superfície indica com a capacitat límit: «màxim 10 persones, o com a màxim 800 kg». Es pressuposa que el pes d'una persona qualsevol segueix una llei normal $\mathcal{N}(70\text{ kg}, 10\text{ kg})$ i que els pesos dels usuaris són variables independents.

a.

Quina és la probabilitat que un grup format per 10 usuaris sobrepassi la càrrega màxima de 800 kg?

b.

Si en una hora punta concorren 300 persones a l'establiment i la probabilitat que un client vulgui agafar l'ascensor és de 0,05, quina és la probabilitat que com a màxim 10 clients coincideixin per utilitzar-lo?

A partir de la taula creuada entre tipus d'activitat comercial i la variable solvent_a_ct sobre 935 empreses (amb estadístic $\chi^2 = 71{,}81947$, $gl = 7$, $p = 6{,}33 \cdot 10^{-13}$):

Model 2 - Exercici 1. Passiu corrent a diferents nivells

A partir de la mostra de 935 empreses de distribució (SABI 2017), s'obtenen els següents intervals de confiança per a la proporció mitjana de passiu corrent:

> t.test(perc_Passiu_Corrent, conf.level =.90)

90 percent confidence interval:

0.8028759 0.8256759

sample estimates: mean of x: 0.8142759

> t.test(perc_Passiu_Corrent, conf.level =.95)

95 percent confidence interval:

0.8006878 0.8278640

sample estimates: mean of x: 0.8142759

a.

Quina conclusió es desprèn sobre la hipòtesi que la mitjana poblacional és de 0,8000?

b.

Suposant una desviació típica poblacional de 0,25, determineu la mida de la mostra per aconseguir un marge d'error de 0,01 a nivells de confiança del 90% i del 95%.

A partir de la taula creuada entre tipus d'activitat comercial i la variable solvent_a_ct sobre 935 empreses (amb estadístic $\chi^2 = 71{,}81947$, $gl = 7$, $p = 6{,}33 \cdot 10^{-13}$):

a.

Quines categories presenten una proporció de solvència clarament divergent respecte al total?

b.

Valoreu la idoneïtat de la mesura d'associació corresponent, calculeu-la i comenteu el grau de relació trobat.

A partir de la taula creuada entre tipus d'activitat comercial i la variable solvent_a_ct sobre 935 empreses (amb estadístic $\chi^2 = 71{,}81947$, $gl = 7$, $p = 6{,}33 \cdot 10^{-13}$):

Model 2 - Exercici 3. Comparació d'equip de la llar i general

Emprant les dades de les 935 empreses distribuïdores, s'obtenen els següents intervals de confiança al 99% per a les categories d'«Equip_Llar» i «General»:

a)

Podem assegurar amb un 99% de confiança que la proporció poblacional d'empreses d'equipament de la llar és estrictament inferior a la de distribució general?

No

Sí

b)

Verifiqueu les condicions d'aplicabilitat dels intervals.

A partir de la taula creuada entre tipus d'activitat comercial i la variable solvent_a_ct sobre 935 empreses (amb estadístic $\chi^2 = 71{,}81947$, $gl = 7$, $p = 6{,}33 \cdot 10^{-13}$):

Model 2 - Exercici 4. Independència i probabilitat d'ús de dispositius

En una enquesta sobre hàbits tecnològics als estudiants d'Economia, el 30% disposa d'iPhone i d'iPad simultàniament, el 75% té iPhone i el 40% té iPad. A partir d'aquesta informació:

a.

Trobeu la probabilitat que un estudiant no disposi de cap d'aquests dos aparells.

b.

Si un estudiant disposa d'iPhone, quina és la probabilitat que tingui també iPad?

c.

Són independents els esdeveniments «tenir iPhone» i «tenir iPad»?

Sí

No

A partir de la taula creuada entre tipus d'activitat comercial i la variable solvent_a_ct sobre 935 empreses (amb estadístic $\chi^2 = 71{,}81947$, $gl = 7$, $p = 6{,}33 \cdot 10^{-13}$):

Model 2 - Exercici 5. Distribució del pes en l'ascensor

Un ascensor està limitat a un màxim de 10 persones o 800 kg de càrrega total. El pes d'una persona qualsevol segueix una distribució $N(75\text{ kg}, 10\text{ kg})$ i els pesos individuals són independents.

a)

Quina és la probabilitat que 10 persones sobrecarreguin l'ascensor?

b)

Si al centre hi ha 300 persones i la probabilitat individual d'usar l'ascensor és 0,04, quina és la probabilitat que coincideixin com a molt 10 persones?

Continuant amb el context de trànsit anterior ($p = 0,10$ de no portar cinturó):

Gener 2019 - Exercici 1. ANOVA de superfície segons forma mercantil

En una mostra representativa de locals comercials d'un municipi s'analitza la relació entre la superfície ($m^2$) i la forma mercantil (individual, SA, SL). Es presenten dos conjunts de resultats (el segon després de depurar dades):

> numSummary(superficie,statistics=c("mean","sd"),groups=forma)

mean sd data:n

individual 40.42730 24.89409 189

SA 58.03647 25.75558 235

SL 58.51497 24.54017 348

> Anova1<-aov(superficie~forma)

> summary(Anova1)

Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)

forma 2 45737 22869 36.58 6.65e-16 ***

Residuals 769 480701 625

---

Signif. codes: 0 '*' 0.001 '' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

> summary(Anova2)

Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)

forma 2 43968 21984 35.96 1.18e-15 ***

Residuals 766 468245 611 a)

A la vista dels resultats, hi ha relació entre la superfície i la forma mercantil? Interpreteu els gràfics i les mesures numèriques.

b)

Quantifiqueu la magnitud de la relació observada a la mostra a partir de l'anàlisi ANOVA depurada.

c)

És vàlid interpretar els resultats del primer model sense depurar? Justifiqueu-ho i interpreteu la mesura obtinguda en l'apartat anterior.

Continuant amb el context de trànsit anterior ($p = 0,10$ de no portar cinturó):

Gener 2019 - Exercici 2. Interval de confiança per a superfície mitjana

A partir d'una mostra de 773 locals comercials, es tenen els següents resums numèrics:

> numSummary(superficie)

mean sd IQR 0% 25% 50% 75% 100% n

54.01215 26.18807 37.69 4.71 33.61 59.09 71.3 126.01 773

> t.test(superficie, conf.level =.95)

a)

Calculeu manualment l'interval de confiança al 95% per a la superfície mitjana ($\\mu$) del municipi.

m²

m²

b)

Es verifiquen les condicions requerides per a la seva interpretació? Justifiqueu-ho breument.

c)

És plausible que la mitjana poblacional de superfície sigui de 55 m²? Raoneu la resposta a partir de l'interval obtingut.

Continuant amb el context de trànsit anterior ($p = 0,10$ de no portar cinturó):

En un estudi de patrons de compra d'una cadena de supermercats en compradors de 25 a 35 anys, es defineixen els successos: $B = \text{«compra bolquers»}$ amb $P(B) = 0{,}3$, $C = \text{«compra cervesa»}$ amb $P(C) = 0{,}4$, i $P(B \cap C) = 0{,}2$.

a)

Si un client ha comprat bolquers, quina és la probabilitat que hagi adquirit cervesa?

b)

Si no ha comprat bolquers, quina és la probabilitat que hagi comprat cervesa?

c)

Són independents ambdós comportaments de compra? Justifiqueu la resposta.

Sí

No

Continuant amb el context de trànsit anterior ($p = 0,10$ de no portar cinturó):

Determineu quina de les següents funcions és una funció de densitat de probabilitat legítima i raoneu per què les altres dues no ho són:

$$f(x) = \begin{cases} 6x^2 - 1 & \text{si } 0 \le x \le 1 \\ 0 & \text{altre cas} \end{cases}$$

$$g(x) = \begin{cases} 1 - x & \text{si } 0 \le x \le 1 \\ 0 & \text{altre cas} \end{cases}$$

$$h(x) = \begin{cases} 3x^2 & \text{si } 0 \le x \le 1 \\ 0 & \text{altre cas} \end{cases}$$

$f(x)$

$g(x)$

$h(x)$

Continuant amb el context de trànsit anterior ($p = 0,10$ de no portar cinturó):

El volum setmanal de llet distribuït per una central segueix una distribució normal amb mitjana 17.000 litres i desviació estàndard de 2.500 litres ($X \sim N(17000, 2500)$).

a)

Calculeu la probabilitat que en una setmana determinada es venguin menys de 12.000 litres.

b)

A partir de quina xifra de vendes se situa el 10% de les setmanes amb major volum?

litres

c)

Entre quins dos valors simètrics al voltant de la mitjana es concentra el 30% central de les setmanes?

litres

litres

Continuant amb el context de trànsit anterior ($p = 0,10$ de no portar cinturó):

D'una mostra aleatòria de 772 establiments comercials es recull la seva ubicació:

a)

Calculeu l'interval de confiança per a la proporció poblacional de locals situats en un centre comercial amb un risc d'error del 10%.

b)

Verifiqueu les condicions d'aplicabilitat del procediment i interpreteu el resultat obtingut.

Continuant amb el context de trànsit anterior ($p = 0,10$ de no portar cinturó):

S'analitza la relació entre la ubicació del local (al carrer o en centre comercial) i la forma mercantil (individual, SA, SL) en 772 comerços:

a)

Calculeu la freqüència esperada corresponent als establiments individuals ubicats en centres comercials.

b)

Dels locals situats al carrer, quin percentatge tenen forma individual? Dels que són SL, quin percentatge està en un centre comercial? Quin percentatge global són SA i estan al carrer?

c)

Quantifiqueu la intensitat de la relació observada a la mostra.

d)

És vàlid interpretar la mesura anterior? Argumenteu-ho.

e)

Amb quina forma mercantil s'associen amb més força els locals al carrer i els que es troben en centres comercials?

Continuant amb el context de trànsit anterior ($p = 0,10$ de no portar cinturó):

Juny 2019 - Exercici 3. Probabilitats associades a infraccions de trànsit

En controls rutinaris de circulació s'observa que el 5% dels conductors aturats donen positiu en alcoholèmia ($P(A) = 0,05$) i que un 10% no porta cordat el cinturó de seguretat ($P(C) = 0,10$). Ambdues infraccions actuen com a successos independents.

a)

Dins del grup de conductors sense cinturó, determineu la fracció que dona positiu en alcoholèmia.

b)

Quin percentatge de conductors no ha comès cap de les dues infraccions?

%

c)

Quin percentatge ha incorregut en com a mínim una infracció?

%

Continuant amb el context de trànsit anterior ($p = 0,10$ de no portar cinturó):

a)

Si un agent atura 5 conductors independents, quina és la probabilitat que com a mínim un no dugui cordat el cinturó?

b)

Quina és l'esperança matemàtica i la variància del nombre d'infractors en una mostra de 5 conductors? Interpreteu aquests paràmetres.

Continuant amb el context de trànsit anterior ($p = 0,10$ de no portar cinturó):

c)

Si s'aturen 100 vehicles, determineu el nombre màxim d'infractors que es trobaran amb una probabilitat del 10%.