Pregunta 6 · Matemáticas UVIC 2014

Enunciado

Pregunta 6 (3 punts). Derivades parcials i direccionals

Considereu el camp escalar de tres variables:

$f(x, y, z) = x^2 \sin(x y^2 - z) + z^2$

Calculeu les derivades parcials de primer ordre de $f$ . (1,5 punts)

Trobeu el vector gradient de $f$ en el punt $(1, 0, \frac{\pi}{2})$ . (0,75 punts)

$v_x =$

, $v_y =$

, $v_z =$

Calculeu la derivada direccional de $f$ en el punt $(1, 0, \frac{\pi}{2})$ segons la direcció del vector $\vec{v} = (2, -1, -4)$ . (0,75 punts)

Enunciado: Pregunta 6 · Matemáticas UVIC 2014

Según los criterios oficiales de corrección

a. Derivada parcial respecte a x: ∂f/∂x

Solución: $2x\sin(xy^2 - z) + x^2y^2\cos(xy^2 - z)$

a. Derivada parcial respecte a y: ∂f/∂y

Solución: $2x^3y\cos(xy^2 - z)$

a. Derivada parcial respecte a z: ∂f/∂z

Solución: $-x^2\cos(xy^2 - z) + 2z$

b. Component x del vector gradient en (1, 0, π/2)

Solución: -2

b. Component y del vector gradient en (1, 0, π/2)

Solución: 0

b. Component z del vector gradient en (1, 0, π/2)

Solución: $\pi$

c. Derivada direccional de f en (1, 0, π/2) en la direcció de v = (2, -1, -4)

Solución: $-\frac{4(1+\pi)}{\sqrt{21}}$ / $\frac{-4-4\pi}{\sqrt{21}}$

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