Pregunta 4 · Matemáticas UVIC 2012

Enunciado

Pregunta 4 (3 punts). Càlcul diferencial en diverses variables

Es considera la funció de tres variables definida per: $f(x, y, z) = z \ln(x^2 - yz)$

Determineu les derivades parcials de primer ordre de la funció $f$ . [1,5 punts]

Calculeu el vector gradient de $f$ avaluat en el punt $P = \left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, -\frac{1}{2}\right)$ . [0,75 punts]

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Calculeu la derivada direccional de $f$ en el mateix punt $P$ seguint la direcció del vector $\vec{v} = (2, -6, 3)$ . [0,75 punts]

Enunciado: Pregunta 4 · Matemáticas UVIC 2012

Según los criterios oficiales de corrección

a. Determineu la derivada parcial de primer ordre respecte a x

Solución: $\frac{2xz}{x^2 - yz}$

a. Determineu la derivada parcial de primer ordre respecte a y

Solución: $-\frac{z^2}{x^2 - yz}$

a. Determineu la derivada parcial de primer ordre respecte a z

Solución: $\ln(x^2 - yz) - \frac{yz}{x^2 - yz}$

b. Component x del vector gradient en P

Solución: $-\frac{1}{2}$

b. Component y del vector gradient en P

Solución: $-\frac{1}{4}$

b. Component z del vector gradient en P

Solución: $\frac{3}{4}$

c. Calculeu la derivada direccional de f en el mateix punt P seguint la direcció del vector v = (2, -6, 3)

Solución: $\frac{11}{28}$

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