Exercici 6 · Matemáticas UVIC 2013

Enunciado

Exercici 6 (3 punts). Càlcul diferencial en diverses variables

Donada la funció escalar de tres variables:

$f(x, y, z) = x^2 z + y\sqrt{z^2 - y}$

Calculeu les derivades parcials de primer ordre de $f$ . [1,5 punts]

Determineu el vector gradient de $f$ en el punt $(1, 0, 3)$ . [0,75 punts]

$($

$,$

$)$

Calculeu la derivada direccional de $f$ en el punt $(1, 0, 3)$ seguint la direcció del vector $\vec{v} = (1, 1, -2)$ . [0,75 punts]

Enunciado: Exercici 6 · Matemáticas UVIC 2013

Según los criterios oficiales de corrección

a) Calculeu la derivada parcial de primer ordre respecte a x

Solución: $2xz$

a) Calculeu la derivada parcial de primer ordre respecte a y

Solución: $\sqrt{z^2 - y} - \frac{y}{2\sqrt{z^2 - y}}$ / $\frac{2z^2 - 3y}{2\sqrt{z^2 - y}}$

a) Calculeu la derivada parcial de primer ordre respecte a z

Solución: $x^2 + \frac{yz}{\sqrt{z^2 - y}}$

b) Primera component del gradient en (1, 0, 3): ∂f/∂x(1, 0, 3)

Solución: 6

b) Segona component del gradient en (1, 0, 3): ∂f/∂y(1, 0, 3)

Solución: 3

b) Tercera component del gradient en (1, 0, 3): ∂f/∂z(1, 0, 3)

Solución: 1

c) Calculeu la derivada direccional de f en el punt (1, 0, 3) seguint la direcció del vector v = (1, 1, -2)

Solución: $\frac{7}{\sqrt{6}}$ / $\frac{7\sqrt{6}}{6}$

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