Examen de Matemáticas UVIC 2012 · Parcial de Càlcul Diferencial (Novembre 2012)

Considereu la funció definida a trossos següent:$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\ln(x + 1) - x}{x^2}, & \text{si } x < 0 \\[1ex] \left|\dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{2}\right|, & \text{si } 0 \le x < 3 \\[1ex] x - \sqrt{-x^2 + 3x + 4}, & \text{si } 3 \le x \end{cases}$$

a.

Trobeu el domini de la funció $f$.

b.

Analitzeu la continuïtat de $f$ en tot el seu domini. Indiqueu el conjunt de punts on $f$ és contínua:

Considereu la funció definida a trossos següent:$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\ln(x + 1) - x}{x^2}, & \text{si } x < 0 \\[1ex] \left|\dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{2}\right|, & \text{si } 0 \le x < 3 \\[1ex] x - \sqrt{-x^2 + 3x + 4}, & \text{si } 3 \le x \end{cases}$$

c.

Determineu la derivabilitat de $f$. Indiqueu el conjunt de punts on la funció és derivable:

Calculeu el domini de definició de la funció escalar $$f(x, y) = \ln(1 - x^2 - y) - \ln(y - x)$$ i feu-ne la representació gràfica al pla $\mathbb{R}^2$.

a)

b)

Representació gràfica del domini de definició al pla $\mathbb{R}^2$:

Pregunta 3 (1 punt). Càlcul de límits direccionals segons rectes

Calculeu el següent límit seguint les rectes de pendent fix que passen per l'origen, és a dir, $y = ax$:

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2 - y^3}{x^2 + y^2}$$

A partir del resultat obtingut, què es pot afirmar sobre l'existència del límit global de la funció en l'origen? Justifiqueu la resposta.

a)

b)

Pregunta 4 (3 punts). Càlcul diferencial en diverses variables

Es considera la funció de tres variables definida per:$$f(x, y, z) = z \ln(x^2 - yz)$$

a.

Determineu les derivades parcials de primer ordre de la funció $f$. [1,5 punts]

b.

Calculeu el vector gradient de $f$ avaluat en el punt $P = \left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, -\frac{1}{2}\right)$. [0,75 punts]

,,)

c.

Calculeu la derivada direccional de $f$ en el mateix punt $P$ seguint la direcció del vector $\vec{v} = (2, -6, 3)$. [0,75 punts]

Pregunta 5 (2 punts). Punts crítics i classificació

Trobeu els punts crítics de la següent funció i classifiqueu-los:

$$f(x) = |x - 3| - \frac{4}{x + 1}$$

•

$x_1 =$

•

$x_2 =$

•

$x_3 =$

Pregunta 5 (2 punts). Punts crítics i classificació

Trobeu els punts crítics de la següent funció i classifiqueu-los:

$$f(x, y) = x^2 y + 2xy - \frac{y^2}{2}$$

Punt 1:

Punt 2:

Punt 3:

•

•

•