Examen de Estadística i Optimització UDL 2015 · Juny

1. Problema 1 [0,5 punts]. Regressió lineal i diferència de concentració

Una empresa dedicada a la producció de microxips necessita conèixer el nivell de concentració de dos components químics, A i B, presents en el sòl. Amb aquesta finalitat, s'extreuen mostres d'un volum d'1 cm³ a les fondàries de -2, -1, 0, 1 i 2 metres. La diferència de massa mesurada (micrograms d'A menys micrograms de B per cada cm³) a cadascuna d'aquestes cotes és de 4, 1, 0, 1 i -1 micrograms, respectivament.

a.

Existeix una relació de tipus lineal entre la cota de mostreig i la diferència de concentració de les dues substàncies? Aporteu un valor numèric que justifiqui la deducció.

b.

Calculeu l'equació de la recta que millor ajusta el conjunt de dades i feu-ne una representació esquemàtica al costat dels punts. A partir d'aquest model lineal, estimeu la diferència de concentració que s'obtindria a una cota de -3 metres.

Valors de la distribució normal estàndard $N(0, 1)$

$p(N(0, 1) \le 0.25) = 0.5987$

$p(N(0, 1) \le 0.50) = 0.6915$

$p(N(0, 1) \le 0.75) = 0.7734$

$p(N(0, 1) \le 1.00) = 0.8413$

$p(N(0, 1) \le 1.25) = 0.8944$

$p(N(0, 1) \le 1.50) = 0.9332$

Problema 2 [1 punt]. Distribució normal en una màquina de cafè

En una oficina s'ha instal·lat una màquina expenedora que, en prémer el botó de selecció, subministra un volum de cafè distribuït segons una variable normal $N(50, 10)$ ml.

a.

Un treballador utilitza una tassa que té una capacitat màxima de 62,5 ml. Determineu quina probabilitat hi ha que la beguda es vessi en omplir-se la tassa.

b.

Si aquesta mateixa persona consumeix quatre tasses de cafè al llarg d'un dia, quina probabilitat hi ha que no se li'n vessi cap durant tota la jornada?

c.

Suposant que la resta d'usuaris empren tasses idèntiques de 62,5 ml, quin és el nombre mitjà de cafès que servirà la màquina abans que s'esdevingui el primer desbordament?

Problema 3 (1 punt). Optimització d'un rectangle sota una funció exponencial

Es consideren els rectangles situats al primer quadrant que tenen el vèrtex inferior esquerre a l'origen de coordenades $(0, 0)$ i el vèrtex superior dret recolzat sobre la corba

$$f(x) = e^{-5x+1}, \quad x \ge 0.$$

a)

Determineu les expressions de les funcions $A(x)$ i $P(x)$ que descriuen, respectivament, l'àrea i el perímetre de la figura en funció de la base $x$.

b)

Trobeu els valors extrems de $A(x)$ i de $P(x)$, especificant justificadament si corresponen a màxims o a mínims.

Problema 4. Punts crítics i classificació mitjançant la matriu Hessiana

Sigui la funció de dues variables definida com:$$f(x,y) = x^4 + (ax-y)^2 + 2x^2 - 8x,$$amb $a \in \mathbb{R}$.

a)

Determineu les coordenades de tots els punts crítics que té la funció $f(x,y)$.

b)

Calculeu la matriu Hessiana de $f(x,y)$ i procediu a la classificació dels punts crítics que heu obtingut a l'apartat anterior.

Problema 5 (0,5 punts). Successió recurrent, fitació i convergència

(Escolliu el Problema 5 o el Problema 6)

Es considera la successió definida per:$$p_n = \left\{\sqrt[3]{1}, \sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1}}, \sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1}}}, \dots\right\}$$

a)

Troba una fórmula o relació de recurrència que generi el terme general $p_n$.

b)

Demostreu per inducció que es compleix $p_n^3 \le 8$ per a tot nombre natural $n \in \mathbb{N}$.

Escriu els passos de la demostració per inducció (cas base, hipòtesi i pas inductiu):

c)

Comproveu que la successió $(p_n)_{n\in\mathbb{N}}$ és monòtona creixent i deduïu a partir d'això que és convergent.

Escriu la justificació de la monotonia i la conclusió de la convergència:

Problema 6 (0,5 punts). Descomposició en fraccions simples i suma de sèrie telescòpica

(Escolliu el Problema 5 o el Problema 6)

Es considera la sèrie numèrica definida per

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 5n + 6}$$

a)

Factoritzeu el polinomi del denominador $n^2 + 5n + 6$ en factors de primer grau i escriviu el terme general de la sèrie com a resta de dues fraccions simples.

b)

Determineu el valor dels dos primers elements de la successió de sumes parcials ($S_1$ i $S_2$).

c)

Calculeu la suma total de la sèrie.