Problema 5 · Estadística i Optimització UDL Juny 2015

Tema: Successions, sèries i ordres de creixement · Del examen Juny (2015)

Enunciado

Problema 5 (0,5 punts). Successió recurrent, fitació i convergència

(Escolliu el Problema 5 o el Problema 6)

Es considera la successió definida per:pn={13,1+133,1+1+1333,… }p_n = \left\{\sqrt[3]{1}, \sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1}}, \sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1}}}, \dots\right\}

a)

Troba una fórmula o relació de recurrència que generi el terme general pnp_n.

b)

Demostreu per inducció que es compleix pn3≤8p_n^3 \le 8 per a tot nombre natural n∈Nn \in \mathbb{N}.

Escriu els passos de la demostració per inducció (cas base, hipòtesi i pas inductiu):

c)

Comproveu que la successió (pn)n∈N(p_n)_{n\in\mathbb{N}} és monòtona creixent i deduïu a partir d'això que és convergent.

Escriu la justificació de la monotonia i la conclusió de la convergència:

Enunciado: Problema 5 · Estadística i Optimització UDL Juny 2015

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Primer terme p_1

Solución: 11

a) Relació de recurrència per a p_{n+1} en funció de p_n

Solución: pn+1=1+pn3p_{n+1} = \sqrt[3]{1+p_n}

b) Demostreu per inducció que es compleix p_n^3 <= 8 per a tot n a N

Solución: Cas base: p13=1≤8p_1^3 = 1 \le 8. Hipòtesi: pn3≤8  ⟹  pn≤2p_n^3 \le 8 \implies p_n \le 2. Pas inductiu: pn+13=1+pn≤1+2=3<8p_{n+1}^3 = 1 + p_n \le 1 + 2 = 3 < 8.

c) Comproveu que la successió és monòtona creixent i deduïu que és convergent

Solución: Comprovació per inducció: p2=23>p1p_2 = \sqrt[3]{2} > p_1. Si pn≥pn−1p_n \ge p_{n-1}, llavors 1+pn3≥1+pn−13  ⟹  pn+1≥pn\sqrt[3]{1+p_n} \ge \sqrt[3]{1+p_{n-1}} \implies p_{n+1} \ge p_n. En ser creixent i fitada superiorment per 22, pel teorema de la convergència monòtona és convergent.

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Problema 2 · 2017 · Problema 6 · Juny 2015 ›

Más ejercicios de Successions, sèries i ordres de creixement