Examen de Estadística i Optimització UDL 2015 · Juny

Problema 1 (1.2 punts). Recta tangent i optimització d'un segment

Es pren la branca de la hipèrbola definida mitjançant l'expressió:$$f(x) = \frac{1}{x}, \quad x > 0$$

a.

Troba l'equació de la recta tangent a la corba en un punt genèric $(x_0, f(x_0))$ o $(x, f(x))$. Expressa $y$ en funció de $X$ (o de la variable abscissa) i $x$:

b.

Demostra que dita tangent talla l'eix d'ordenades en el punt $A = (0, \frac{2}{x})$ i l'eix d'abscisses en el punt $B = (2x, 0)$. Explica breument com es dedueixen aquests punts de tall:

c.

Estableix l'expressió de la funció $\ell(x)$ que mesura la distància entre els punts $A$ i $B$:

d.

Optimitza la funció $\ell(x)$ i determina si el valor òptim obtingut és un màxim o un mínim.

Mínim

Màxim

Problema 2 (1.3 punts). Càlcul diferencial en dues variables

Sigui la funció de dues variables reals:

$$f(x, y) = x^3 - x(ax + y) + (ax + y)^3, \quad a \in \mathbb{R}$$

a.

Calcula les derivades parcials de primer ordre de $f(x, y)$.

b.

Suposant que el paràmetre és $a = 0$, troba tots els punts crítics de la funció.

c.

Classifica els punts crítics trobats en l'apartat precedent.

Valors de la distribució normal estàndard facilitats:

$z$

$p(N(0, 1) \le z)$

$z$

$p(N(0, 1) \le z)$

0.25

0.5987

0.50

0.6915

0.75

0.7734

1.00

0.8413

1.25

0.8944

1.50

0.9332

En una línia d'embotellament s'empra una màquina dispensadora que, en prémer el botó d'ompliment, subministra un volum de líquid que es distribueix de forma normal segons una variable $N(100, 20)$ ml.

a)

Es considera que una ampolla ha quedat correctament emplenada si conté un volum comprès entre $80$ i $120$ ml. Quina és la probabilitat que un envàs qualsevol compleixi aquest criteri?

b)

Si s'agafen 9 ampolles omplertes per aquest sistema i se'n buida el contingut dins d'una coctelera amb $990$ ml de cabuda màxima, determina la probabilitat que el líquid sobrepassi la capacitat i la coctelera vessi.

c)

Es prenen 9 ampolles independents produïdes per la màquina i es fiquen en una capsa. Quina probabilitat hi ha que a la capsa hi hagi més de dues ampolles amb un volum incorrecte?