Examen de Càlcul UAB 2023 · Parcial - Abril 2023

Exercici 1 (3+3+4 punts). Recta tangent, equació exponencial i teorema de Bolzano

a.

Doneu l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció $f(x) = (\cos(2\pi\sqrt{x}) + 1)^2$ en el punt d'abscissa $x = 1$.

Exercici 1 (3+3+4 punts). Recta tangent, equació exponencial i teorema de Bolzano

b.

Trobeu totes les solucions reals de l'equació $e^{2x} - 6e^{-2x} = -1$.

Exercici 1 (3+3+4 punts). Recta tangent, equació exponencial i teorema de Bolzano

c.

Demostreu que l'equació $\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) = -x + 1$ té una única solució en l'interval tancat $[0, 1]$.

Exercici 2

Considereu la funció real de variable real:

$$f(x) = x^2 e^{-x^2}$$

a.

Trobeu els intervals de creixement i decreixement i els extrems relatius de la funció.

b.

Trobeu els intervals de concavitat i convexitat i determineu els punts d'inflexió.

c.

Feu un esbós de la seva gràfica.