Exercici 2 · Càlcul UAB 2023

a. Trobeu els intervals de creixement i decreixement i els extrems relatius de la funció.

Solución: Creixent a $(-\infty, -1) \cup (0, 1)$, decreixent a $(-1, 0) \cup (1, +\infty)$. Màxims relatius a $(-1, 1/e)$ i $(1, 1/e)$, mínim relatiu a $(0, 0)$.

b. Trobeu els intervals de concavitat i convexitat i determineu els punts d'inflexió.

Solución: Convexa (∪) a $(-\infty, x_2) \cup (x_4, x_3) \cup (x_1, +\infty)$, còncava (∩) a $(x_2, x_4) \cup (x_3, x_1)$. Punts d'inflexió en $x = \pm\frac{\sqrt{5+\sqrt{17}}}{2}$ i $x = \pm\frac{\sqrt{5-\sqrt{17}}}{2}$.

c. Feu un esbós de la seva gràfica.

Solución: Gràfica simètrica respecte a l'eix $OY$ ($f(-x) = f(x)$), asímptota horitzontal $y = 0$ a $\pm\infty$. La corba surt de $y=0$, puja amb concavitat convexa fins a $x_2$, canvia a còncava i assoleix el màxim relatiu a $(-1, 1/e)$. Després decreix passant pel punt d'inflexió $x_4$ (on esdevé convexa) fins al mínim a l'origen $(0, 0)$. Per simetria parella, reprodueix exactament la mateixa forma reflexada per a $x > 0$, amb un màxim a $(1, 1/e)$ i tendint asimptòticament a $0$.