Examen de Càlcul UAB 2023 · Juny

Exercici 1 (10 punts). Càlcul integral i aplicacions

Resoleu els següents apartats relacionats amb el càlcul integral:

a.

Trobeu la derivada de la funció:$$F(x) = \int_{-x}^{x^4} \frac{\sin(t)}{t} \, dt$$

b.

Calculeu la integral indefinida següent:$$\int \frac{1}{(x - 1)(x^2 + 2x + 2)} \, dx$$

Exercici 1 (10 punts). Càlcul integral i aplicacions

Resoleu els següents apartats relacionats amb el càlcul integral:

c.

Determineu el valor de l'àrea del recinte limitat per les corbes definides per $y = e^{-x}$ i $y = e^{-x}(x^2 - 3x + 3)$.

Exercici 2 (10 punts). Equacions diferencials ordinàries

Resoleu els següents problemes sobre equacions diferencials:

a.

Suposem que la taxa de variació d'una població és directament proporcional a la quantitat d'individus presents en cada instant. Si la població necessita 2 hores per duplicar-se, determineu el temps necessari perquè es tripliqui.

b.

Trobeu la solució general de l'equació diferencial ordinària següent:

$$y' - \cos(2x)y = \cos(2x)$$

c.

Determineu la solució particular de l'equació diferencial ordinària:

$$y'' - 4y' + 13y = e^{-x}$$

que satisfà les condicions inicials $y(0) = 1$ i $y'(0) = 0$.

Indicació: cerqueu una solució particular de la forma $y_p = Ae^{-x}$, on $A$ és una constant.