Exercici 1.c · Càlcul UAB 2023

Demostreu que l'equació sin(πx/2) = -x + 1 té una única solució en l'interval tancat [0, 1].

Solución: Definim la funció auxiliar $g(x) = \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right) + x - 1$. L'existència d'una solució de l'equació original equival a demostrar que $g(x)$ té un únic zero a l'interval $[0, 1]$. - Existència (Teorema de Bolzano): La funció $g$ és contínua a $[0, 1]$ per ser suma de funcions contínues. Avaluant en els extrems de l'interval: - $g(0) = \sin(0) + 0 - 1 = -1 < 0$ - $g(1) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 1 - 1 = 1 > 0$ Com que $g(0) < 0$ i $g(1) > 0$, pel teorema de Bolzano existeix com a mínim un punt $c \in (0, 1)$ tal que $g(c) = 0$. - Unicitat (Monotonia estricta): Calculem la derivada primera de $g$: $$g'(x) = \frac{\pi}{2}\cos\left(\frac{\pi x}{2}\right) + 1$$ Per a $x \in [0, 1]$, l'argument satisfà $\frac{\pi x}{2} \in [0, \frac{\pi}{2}]$, on el cosinus és no negatiu ($\cos(\frac{\pi x}{2}) \ge 0$). Per tant: $$g'(x) \ge 1 > 0, \quad \forall x \in [0, 1]$$ Com que $g'(x) > 0$ a tot l'interval, $g(x)$ és estrictament creixent i només pot anul·lar-se en un únic punt. En conclusió, l'equació té exactament una solució a $[0, 1]$.