Examen de Càlcul UAB 2023 · Juny

Exercici 1 (10 punts). Càlcul integral i derivació

a.

(3 punts) Determineu la funció derivada de $$F(x) = \int_{-x}^{x^4} \frac{\sin(t)}{t} \, dt$$

b.

(3 punts) Calculeu la integral indefinida següent: $$\int \frac{1}{(x-1)(x^2+2x+2)} \, dx$$

Exercici 1 (10 punts). Càlcul integral i derivació

c.

(4 punts) Calculeu l'àrea de la regió del pla delimitada per les corbes $y = e^{-x}$ i $y = e^{-x}(x^2 - 3x + 3)$.

Exercici 2 (10 punts). Equacions diferencials ordinàries

a.

(3 punts) Se sap que la taxa de creixement d'una població és directament proporcional al seu nombre d'individus en cada instant. Si la població necessita exactament dues hores per duplicar-se, quant de temps trigarà a triplicar-se?

b.

(3 punts) Trobeu la solució general de l'equació diferencial: $$y' - \cos(2x)y = \cos(2x)$$

c.

(4 punts) Calculeu la solució particular de l'equació diferencial $$y'' - 4y' + 13y = e^{-x}$$ que satisfà les condicions inicials $y(0) = 1$ i $y'(0) = 0$. Indicació: cerqueu una solució particular de la forma $y = Ae^{-x}$, on $A$ és una constant real.