Examen de Álgebra UAB 2022 · Parcial Àlgebra (10 de gener de 2022)

Exercici 1 [3 punts]. Aplicació lineal: nucli, imatge i matriu associada

Es considera l'aplicació $\mathbb{R}$-lineal $f: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^4$ definida per:

$$f(x, y, z, t) = (-3x + y - z,\ -x + 4y + t,\ -11x + 11y - 3z + 2t,\ -2x - 3y - z - t)$$

a.

Determineu la dimensió i una base de $\operatorname{Im}(f)$ i de $\operatorname{ker}(f)$.

b.

Justifiqueu si $f$ és una aplicació injectiva i si és exhaustiva.

c.

Calculeu la matriu associada $M_{\mathcal{B}}(f)$ respecte de la base:

$$\mathcal{B} = ((1,0,0,0),\ (1,1,0,0),\ (1,1,1,0),\ (1,1,1,1))$$

tant a l'espai de sortida com al d'arribada.

Exercici 2 (2 punts). Dependència lineal i coordenades amb paràmetre

Siguin els vectors de $\mathbb{R}^4$:

$$v_1 = (1, 1, 0, -1),\quad v_2 = (1, a+1, 1, 1),\quad v_3 = (1, 1-a, a, -3)$$

a.

Calculeu la dimensió del subespai $V = \langle v_1, v_2, v_3 \rangle$ segons els valors del paràmetre real $a$.

b.

Determineu per a quins valors de $a$ els vectors $v_2$ i $v_3$ constitueixen una base de $V$. Per a aquests valors trobats, escriviu les coordenades de $v_1$ en aquesta base.

Exercici 3 (3 punts). Diagonalització d'una matriu i càlcul de potències

Es considera la matriu real:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$$

a)

Trobeu els valors propis i els vectors propis associats a la matriu $A$.

b)

Justifiqueu si $A$ diagonalitza a $\mathbb{R}$. En cas afirmatiu, trobeu una matriu invertible $P$ i una matriu diagonal $D$ tals que $A = PDP^{-1}$.

c)

Calculeu el vector $A^{100}v$, on $v = (1, -1, 0)$.

4. Teoria (2 punts). Qüestions teòriques: independència lineal, injectivitat i diagonalitzabilitat

Indiqueu de manera raonada si cadascuna de les afirmacions següents és certa o falsa:

a.

Quatre vectors $v_1, v_2, v_3$ i $v_4$ de $\mathbb{R}^4$ són sempre linealment independents.

Certa

Falsa

4. Teoria (2 punts). Qüestions teòriques: independència lineal, injectivitat i diagonalitzabilitat

Indiqueu de manera raonada si cadascuna de les afirmacions següents és certa o falsa:

b.

Si $f: E \to F$ és una aplicació lineal que compleix $\dim(E) = \dim(\mathrm{im}(f))$, llavors $f$ és injectiva.

Certa

Falsa

4. Teoria (2 punts). Qüestions teòriques: independència lineal, injectivitat i diagonalitzabilitat

Indiqueu de manera raonada si cadascuna de les afirmacions següents és certa o falsa:

c.

La matriu $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \in M_2(\mathbb{R})$ és diagonalitzable.

Certa

Falsa