Exercici 3 · Álgebra UAB 2022

a. Trobeu els valors propis i els vectors propis associats a la matriu A.

Solución: Valors propis: $\lambda_1 = 5$ (multiplicitat algebraica 2), $\lambda_2 = -3$ (multiplicitat algebraica 1). Subespais propis: $E(5) = \langle(1, 1, 0), (0, 0, 1)\rangle$, $E(-3) = \langle(1, -1, 0)\rangle$.

b. Justifiqueu si A diagonalitza a R. En cas afirmatiu, trobeu una matriu invertible P i una matriu diagonal D tals que A = PDP^(-1).

Solución: $A$ sí que diagonalitza a $\mathbb{R}$. $D = \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}$, $P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ (o qualsevol ordre coherent de valors i vectors propis).

c. Calculeu el vector A^(100)v, on v = (1, -1, 0).

Solución: $(3^{100}, -3^{100}, 0)$ / $3^{100}(1, -1, 0)$