Exercici 2 · Álgebra UAB 2022

Tema: Espais vectorials, bases i canvi de base · Del examen Examen Parcial Àlgebra (10 de gener de 2022) (2022)

Enunciado

Exercici 2 (2 punts). Dependència lineal i coordenades amb paràmetre

Siguin els vectors de R4\mathbb{R}^4:

v1=(1,1,0,−1),v2=(1,a+1,1,1),v3=(1,1−a,a,−3)v_1 = (1, 1, 0, -1),\quad v_2 = (1, a+1, 1, 1),\quad v_3 = (1, 1-a, a, -3)

a.

Calculeu la dimensió del subespai V=⟨v1,v2,v3⟩V = \langle v_1, v_2, v_3 \rangle segons els valors del paràmetre real aa.

b.

Determineu per a quins valors de aa els vectors v2v_2 i v3v_3 constitueixen una base de VV. Per a aquests valors trobats, escriviu les coordenades de v1v_1 en aquesta base.

Enunciado: Exercici 2 · Álgebra UAB 2022

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Valor crític del paràmetre a

Solución: -1

a. Dimensió de V per a a = -1

Solución: 2

a. Dimensió de V per a a ≠ -1

Solución: 3

a. Càlculs de la dimensió del subespai V

Solución: Esglaonament de la matriu per files mitjançant F2 <- F2 - F1, F3 <- F3 - F1 i F3 <- F3 + F2.

b. Valor de a per al qual {v2, v3} constitueixen una base de V

Solución: -1

b. Primera coordenada λ1 de v1 en la base {v2, v3}

Solución: 1/2

b. Segona coordenada λ2 de v1 en la base {v2, v3}

Solución: 1/2

b. Justificació i resolució del sistema de coordenades

Solución: Resolució del sistema de 4 equacions amb 2 incògnites que verifica les components tercera i quarta.

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

Exercici 4.a - Espais vectorials · 2022 ›

Más ejercicios de Espais vectorials, bases i canvi de base