Exercici 1 · Álgebra UAB 2022

Tema: Aplicacions lineals · Del examen Examen Parcial Àlgebra (10 de gener de 2022) (2022)

Enunciado

Exercici 1 [3 punts]. Aplicació lineal: nucli, imatge i matriu associada

Es considera l'aplicació R\mathbb{R}-lineal f:R4→R4f: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^4 definida per:

f(x,y,z,t)=(−3x+y−z, −x+4y+t, −11x+11y−3z+2t, −2x−3y−z−t)f(x, y, z, t) = (-3x + y - z,\ -x + 4y + t,\ -11x + 11y - 3z + 2t,\ -2x - 3y - z - t)

a.

Determineu la dimensió i una base de Im⁡(f)\operatorname{Im}(f) i de ker⁡(f)\operatorname{ker}(f).

b.

Justifiqueu si ff és una aplicació injectiva i si és exhaustiva.

c.

Calculeu la matriu associada MB(f)M_{\mathcal{B}}(f) respecte de la base:

B=((1,0,0,0), (1,1,0,0), (1,1,1,0), (1,1,1,1))\mathcal{B} = ((1,0,0,0),\ (1,1,0,0),\ (1,1,1,0),\ (1,1,1,1))

tant a l'espai de sortida com al d'arribada.

Enunciado: Exercici 1 · Álgebra UAB 2022

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Dimensió de Im(f)

Solución: 2

a. Una base de Im(f)

Solución: {(-1, 0, -3, -1), (0, 1, 2, -1)}

a. Dimensió de ker(f)

Solución: 2

a. Una base de ker(f)

Solución: {(1, 0, -3, 1), (0, 1, 1, -4)}

b. És f injectiva?

Solución: No

b. És f exhaustiva?

Solución: No

b. Justificació d'injectivitat i exhaustivitat

Solución: Com que dim(ker(f)) = 2 ≠ 0, f no és injectiva. Com que dim(Im(f)) = 2 ≠ 4, f no és exhaustiva.

c. Coeficient M_B(f)[1,1]

Solución: -2

c. Coeficient M_B(f)[1,2]

Solución: -5

c. Coeficient M_B(f)[1,3]

Solución: -6

c. Coeficient M_B(f)[1,4]

Solución: -7

c. Coeficient M_B(f)[2,1]

Solución: 10

c. Coeficient M_B(f)[2,2]

Solución: 3

c. Coeficient M_B(f)[2,3]

Solución: 6

c. Coeficient M_B(f)[2,4]

Solución: 5

c. Coeficient M_B(f)[3,1]

Solución: -9

c. Coeficient M_B(f)[3,2]

Solución: 5

c. Coeficient M_B(f)[3,3]

Solución: 3

c. Coeficient M_B(f)[3,4]

Solución: 6

c. Coeficient M_B(f)[4,1]

Solución: -2

c. Coeficient M_B(f)[4,2]

Solución: -5

c. Coeficient M_B(f)[4,3]

Solución: -6

c. Coeficient M_B(f)[4,4]

Solución: -7

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