Examen de Álgebra UAB 2021 · Segon Parcial d'Àlgebra (febrer 2021)

Exercici 1 (3 punts). Aplicació lineal entre $\mathbb{R}^4$ i $\mathbb{R}^3$

Es considera l'aplicació $\mathbb{R}$-lineal $f: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$ definida per l'expressió:

$$f(x, y, z, t) = (x - y + 2z - 3t,\, y + 6t,\, 2x - y + 4z)$$

a)

Trobeu la dimensió i determineu una base tant de la imatge, $\operatorname{im}(f)$, com del nucli, $\ker(f)$.

b)

Raoneu detalladament si $f$ és una aplicació injectiva i si és exhaustiva.

És injectiva?

Sí

No

És exhaustiva?

Sí

No

c)

Comproveu la inclusió $\ker(f) \subseteq G$, on $G = \langle(-1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 1)\rangle$, i amplieu la base obtinguda de $\ker(f)$ fins a completar una base del subespai $G$.

Exercici 2 (2 punts). Subespais vectorials de $\mathbb{R}^3$

Es consideren els dos subconjunts següents de $\mathbb{R}^3$:

$$V_1 = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + 2z = -y,\; z = y + 4x\}$$

$$V_2 = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid 2x = y + 1,\; y = 4z\}$$

Determineu raonadament quins d'ells constitueixen un subespai vectorial de $\mathbb{R}^3$. Per a aquells que ho siguin, calculeu la seva dimensió i trobeu-ne una base.

Estudi de $V_1$

Sí

No

Estudi de $V_2$

Sí

No

Exercici 3 [3 punts]. Diagonalització de matrius i potències

Es considera la matriu real:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} \in M_3(\mathbb{R})$$

a.

Determineu tots els valors propis d'$A$.

b.

És $A$ una matriu diagonalitzable? Si ho és, trobeu una matriu invertible $P$ i una matriu diagonal $D$ tals que $A = PDP^{-1}$.

c.

Calculeu el vector $A^{99}v$, on $v = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.

4 Teoria. Qüestions de veritable o fals

Indiqueu de forma raonada si l'afirmació és certa o falsa. Justifiqueu adequadament la vostra decisió:

a.

Quatre vectors $v_1, v_2, v_3, v_4$ de $\mathbb{R}^4$ són sempre linealment independents.

Certa

Falsa

4 Teoria. Qüestions de veritable o fals

Indiqueu de forma raonada si l'afirmació és certa o falsa. Justifiqueu adequadament la vostra decisió:

b.

Tota aplicació lineal $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ és exhaustiva.

Certa

Falsa

4 Teoria. Qüestions de veritable o fals

Indiqueu de forma raonada si l'afirmació és certa o falsa. Justifiqueu adequadament la vostra decisió:

c.

La matriu identitat $I_n \in M_n(\mathbb{R})$ és diagonalitzable, en el sentit que existeix una matriu invertible $P \in M_n(\mathbb{R})$ i una matriu diagonal $D \in M_n(\mathbb{R})$ tals que $P D P^{-1} = I_n$.

Certa

Falsa