Exercici 1 · Álgebra UAB 2021

Exercici 1 (3 punts). Aplicació lineal entre $\mathbb{R}^4$ i $\mathbb{R}^3$

Es considera l'aplicació $\mathbb{R}$-lineal $f: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$ definida per l'expressió:

$$f(x, y, z, t) = (x - y + 2z - 3t,\, y + 6t,\, 2x - y + 4z)$$

a)

Trobeu la dimensió i determineu una base tant de la imatge, $\operatorname{im}(f)$, com del nucli, $\ker(f)$.

b)

Raoneu detalladament si $f$ és una aplicació injectiva i si és exhaustiva.

És injectiva?

Sí

No

És exhaustiva?

Sí

No

c)

Comproveu la inclusió $\ker(f) \subseteq G$, on $G = \langle(-1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 1)\rangle$, i amplieu la base obtinguda de $\ker(f)$ fins a completar una base del subespai $G$.