Exercici 3 · Álgebra UAB 2021

Tema: Diagonalització: valors i vectors propis · Del examen Examen Segon Parcial d'Àlgebra (febrer 2021) (2021)

Enunciado

Exercici 3 [3 punts]. Diagonalització de matrius i potències

Es considera la matriu real:

A=(222022022)∈M3(R)A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} \in M_3(\mathbb{R})

a.

Determineu tots els valors propis d'AA.

b.

És AA una matriu diagonalitzable? Si ho és, trobeu una matriu invertible PP i una matriu diagonal DD tals que A=PDP−1A = PDP^{-1}.

c.

Calculeu el vector A99vA^{99}v, on v=(211)v = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.

Enunciado: Exercici 3 · Álgebra UAB 2021

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Determineu tots els valors propis d'A.

Solución: 0,2,40, 2, 4

b. És A una matriu diagonalitzable? Si ho és, trobeu una matriu invertible P i una matriu diagonal D tals que A = PDP^-1.

Solución: Sí, és diagonalitzable perquè té 3 valors propis reals diferents. D = diag(0, 2, 4) i P té per columnes vectors propis associats.

c. Calculeu el vector A^99 v, on v = (2, 1, 1)^T.

Solución: 499(211)=(2⋅499499499)=(219921982198)4^{99} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 4^{99} \\ 4^{99} \\ 4^{99} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2^{199} \\ 2^{198} \\ 2^{198} \end{pmatrix}

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Exercici 4.c - Diagonalitzabilitat · 2022 · Ejercicio Teoria - Apartat c · 2021 ›

Más ejercicios de Diagonalització: valors i vectors propis