Exercici 1 · Matemáticas UAB 2019

Exercici 1. Llei de Gompertz i model de creixement

Es considera que el desenvolupament biomètric dels individus d'una certa espècie segueix la denominada llei de Gompertz quan el logaritme de la seva longitud evoluciona d'acord amb el model de von Bertalanffy. Denotant per $L(t)$ la talla o longitud en l'instant $t$, es compleix la relació diferencial següent:

$$\frac{d}{dt}\ln L = r(\ln L_\infty - \ln L)$$

on els paràmetres $r$ i $L_\infty$ prenen valors constants positius.

a)

Integreu l'equació diferencial donada per tal d'aïllar l'expressió analítica de $\ln L(t)$.

b)

Deduïu la funció $L(t)$ i comproveu que $L_\infty$ correspon a la longitud asimptòtica de l'organisme a llarg termini.

c)

Assumint la hipòtesi biològica que $L(0) < L_\infty$, demostreu que la funció de longitud $L(t)$ és estrictament creixent en tot moment.

d)

Sota aquesta mateixa premissa inicial ($L(0) < L_\infty$), proveu que la trajectòria de $L(t)$ presenta un punt d'inflexió just quan l'individu assoleix aproximadament un $36.8\%$ de la seva mida asimptòtica.