Exercici 3 · Matemáticas UAB 2019

Exercici 3. Model matricial de població estructurada

Una determinada població animal es troba estructurada en dos estadis de desenvolupament: individus joves i individus adults. Denotem per $j_n$ i $a_n$ les quantitats respectives de joves i adults registrats a l'any $n$. Es coneix que el cicle vital anual segueix les següents regles:

Cada individu adult produeix de mitjana 2 nous joves per any.

Una proporció d'1/4 dels joves madura i passa a ser adulta l'any següent, mentre que la resta (3/4) mor.

Sobreviu exactament la meitat (1/2) dels individus adults d'un any a l'altre.

a)

Formuleu i justifiqueu la relació matricial del model:$$\begin{pmatrix} j_{n+1} \\ a_{n+1} \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} j_n \\ a_n \end{pmatrix}, \quad \text{on } A = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1/4 & 1/2 \end{pmatrix}$$

b)

Determineu els valors propis de la matriu $A$ i construïu una base de $\mathbb{R}^2$ formada per vectors propis.

c)

Si a l'any inicial es registren $j_0 = 400$ i $a_0 = 500$, expresseu el vector poblacional inicial $\begin{pmatrix} j_0 \\ a_0 \end{pmatrix}$ en la base de vectors propis i calculeu el cens d'individus a l'any $n = 6$, $\begin{pmatrix} j_6 \\ a_6 \end{pmatrix}$.

d)

Calculeu la proporció asimptòtica d'individus joves respecte a adults quan el temps tendeix a infinit, és a dir, el límit:$$\lim_{n\to\infty} \frac{j_n}{a_n}$$