Exercici 2 · Matemáticas UAB 2019

Exercici 2. Sistema lineal predador-presa

Sigui el vector de funcions $(x(t), y(t))$ obtingut a partir de la combinació lineal dels vectors base $e^{2t}(\sin t, \cos t)$ i $e^{2t}(\cos t, -\sin t)$.

a)

Verifiqueu que les funcions $x(t)$ i $y(t)$ constitueixen la solució general del sistema d'equacions diferencials lineals:

$$\begin{cases} x' = 2x + y \\ y' = -x + 2y \end{cases}$$

b)

Les magnituds $x(t)$ i $y(t)$ modelitzen el nombre d'individus de dues poblacions animals en el temps $t$ (mesurat en mesos), corresponents a una població depredadora i a les seves preses, respectivament. Si es parteix d'un cens inicial de $150$ predadors i $100$ preses, trobeu les fórmules explícites per a $x(t)$ i $y(t)$.

c)

Calculeu en quin instant de temps s'arribarà a l'extinció de la comunitat de preses.