Examen de Matemáticas II UAB 2018 · Juny

Pregunta 1 (2 puntos). Discusión de sistema con parámetro

Estudia y clasifica, en función de los valores que adopte el parámetro real $a$, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:$$\begin{cases}3x + 5y + 2z &= 1 \\ x + 2y + z &= -1 \\ x + y + az &= a + 3\end{cases}$$

1.

2.

Clasificación del sistema para $a = 0$:

3.

Clasificación del sistema para $a \neq 0$:

Pregunta 2 (3 puntos). Teorema de la función implícita y cálculo aproximado

Dada la función $f(x, y, z) = xy^2z^3 + yz^2x^3 + zx^2y^3 - 3 = 0$, responde a las siguientes cuestiones:

a)

Para comprobar que la ecuación define implícitamente $z = g(x, y)$ en un entorno de $(1, 1, 1)$, evalúa la derivada parcial respecto a la variable dependiente $z$ en el punto:

b)

Determina las derivadas parciales de $g$ en $(1, 1)$ empleando la fórmula de derivación implícita:

c)

Considera la función real de dos variables:$$f(x, y) = x^3 + y^3 - \frac{3}{2}x^2 - 3y^2$$

a.

Obtén todos los puntos críticos de $f$.

b.

Clasifica los puntos críticos anteriores utilizando la matriz hessiana (identificando si son máximos relativos, mínimos relativos o puntos de silla).

Considera la función real de dos variables:$$f(x, y) = x^3 + y^3 - \frac{3}{2}x^2 - 3y^2$$

c.

Halla el máximo absoluto y el mínimo absoluto de la función $f$ sobre el conjunto $B = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 = 5\}$.