Examen de Matemáticas II UAB 2018 · final (versión B) - Curso 2018-19

Ejercicio 1 (3 puntos). Optimización de la función de beneficio

Una empresa comercializa tres artículos distintos, cuyas cantidades producidas vienen dadas por $x_1$, $x_2$ y $x_3$. Su función de ingresos es:

$$R(x_1, x_2, x_3) = 20x_1 + 12x_2 + 8x_3$$

Por otro lado, la estructura de costes de fabricación corresponde a:

$$C(x_1, x_2, x_3) = 4x_1^2 + 8x_2^2 + x_3^2 + 2x_1x_3 + 2$$

Sabiendo que el beneficio se define como los ingresos totales menos los costes de producción, la firma desea maximizar su beneficio global:

a.

Determina los puntos críticos asociados al problema de optimización.

$($

$,$

$,$

$)$

b.

Aplica las condiciones de segundo orden para clasificar dichos puntos críticos.

c.

Señala cuál es el óptimo global $(x_1^*, x_2^*, x_3^*)$ y argumenta formalmente tu conclusión.

$($

$,$

$,$

$)$

Ejercicio 2 (4 puntos). Teorema de la función implícita y plano tangente

Se tiene la ecuación:

$$e^{x^2 - 1} - y^2 + 9z^3 + yzx + 8 = 0$$

a.

En las proximidades del punto $(x, y, z) = (1, 3, 0)$, ¿resulta factible despejar $z$ de forma unívoca como función de $x$ e $y$ (es decir, $z = \phi(x, y)$)? Enuncia el teorema aplicable y verifica con detalle cada una de sus hipótesis.

b.

Determina el valor de las derivadas parciales $\frac{\partial z}{\partial x}(1, 3)$ y $\frac{\partial z}{\partial y}(1, 3)$.

c.

Obtén la ecuación del plano tangente a la superficie definida por $z = \phi(x, y)$ en el punto $(1, 3)$.

Ejercicio 3 (3 puntos). Optimización con restricciones de igualdad

Considera el siguiente problema de optimización condicionada:

$$\text{Optimizar } f(x,y) = y^2 + \frac{x^2}{8}$$

$$\text{sujeto a } x^2 + y^2 = 4$$

Restringiendo el análisis únicamente a soluciones con $x \ge 0$ e $y \ge 0$:

a.

Halla los puntos críticos (candidatos a extremo) del problema empleando el método de los multiplicadores de Lagrange.

$(x, y) =$ (

,

) con $\lambda =$

$(x, y) =$ (

,

) con $\lambda =$

b.

Utiliza las condiciones de segundo orden (Hessiano orlado) para clasificar dichos puntos críticos en máximos o mínimos locales.

c.

Justifica la existencia de extremos globales y determina cuáles son dichos puntos y sus respectivos valores.

Punto: (

,

), Valor $f =$

Punto: (

,

), Valor $f =$