Examen de Matemáticas II UAB 2015 · Juny

Problema 1 (2 puntos). Sistema lineal dependiente de un parámetro

Se considera el sistema lineal de ecuaciones dado en notación matricial por:

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 7 \\ 5 & 5 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 2 \end{pmatrix}$$

a.

(1 punto) Discuta el tipo de sistema según los posibles valores del parámetro real $a$.

b.

(1 punto) Obtenga la solución del sistema en el caso particular $a = 14$.

Sea la función de tres variables $g(x, y, z) = e^{z^2 - 1} - x^2 + 9y^3 + x^3yz + 3$.

a)

[1 punto] Calcule la derivada direccional de $g$ en el punto $P = (2,0,1)$ según la dirección marcada por el vector $\vec{v} = (1,2,2)$. Interprete geométricamente el signo obtenido.

Sea la función de tres variables $g(x, y, z) = e^{z^2 - 1} - x^2 + 9y^3 + x^3yz + 3$.

b)

A partir de la ecuación de nivel $g(x,y,z) = 0$:

a.

[1,5 puntos] Justifique formalmente si es posible despejar la variable $y$ en función de $x$ y $z$ ($y = y(x,z)$) en un entorno de $P = (2,0,1)$.

b.

[1 punto] Determine el vector gradiente $\vec{\nabla}y(2,1)$.

Problema 3 (2 puntos). Extremos locales y globales de una función

Dada la función $f(x, y) = 3x^2 + 2x + 1 + y^2 - 2y(x + 1)$:

a)

[1,5 puntos] Encuentre los puntos críticos y clasifíquelos (máximos locales, mínimos locales o puntos de silla) mediante la matriz hessiana.

b)

[0,5 puntos] Razone si alguno de los puntos críticos calculados constituye un extremo global.

Problema 4 (2,5 puntos). Optimización condicionada con restricciones de igualdad

Considere el siguiente problema de optimización:

$$\begin{cases} \text{Optimizar } f(x, y) = x^2 + 4x + 6 + 2y \\ \text{sujeto a } g(x, y): (x + 2)^2 + y^2 = \frac{1}{4} \end{cases}$$

a)

[1 punto] Halle los candidatos a óptimo empleando el método de los multiplicadores de Lagrange.

$x_1 =$

$y_1 =$

$\lambda_1 =$

$x_2 =$

$y_2 =$

$\lambda_2 =$

b)

[1 punto] Clasifique dichos puntos como máximos o mínimos locales condicionados utilizando el hessiano orlado.

c)

[0,5 puntos] Justifique la existencia de extremos globales y determine cuáles son.