Problema 4 · Matemáticas II UAB Juny 2015

Tema: Optimización con restricciones: multiplicadores de Lagrange · Del examen Juny (2015)

Enunciado

Problema 4 (2,5 puntos). Optimización condicionada con restricciones de igualdad

Considere el siguiente problema de optimización:

{Optimizar f(x,y)=x2+4x+6+2ysujeto a g(x,y):(x+2)2+y2=14\begin{cases} \text{Optimizar } f(x, y) = x^2 + 4x + 6 + 2y \\ \text{sujeto a } g(x, y): (x + 2)^2 + y^2 = \frac{1}{4} \end{cases}

a)

[1 punto] Halle los candidatos a óptimo empleando el método de los multiplicadores de Lagrange.

x1=x_1 =

y1=y_1 =

λ1=\lambda_1 =

x2=x_2 =

y2=y_2 =

λ2=\lambda_2 =

b)

[1 punto] Clasifique dichos puntos como máximos o mínimos locales condicionados utilizando el hessiano orlado.

c)

[0,5 puntos] Justifique la existencia de extremos globales y determine cuáles son.

Enunciado: Problema 4 · Matemáticas II UAB Juny 2015

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Primer candidato: coordenada x_1

Solución: -2

a) Primer candidato: coordenada y_1

Solución: 1/2 / 0,5

a) Primer candidato: multiplicador λ_1

Solución: 2

a) Segundo candidato: coordenada x_2

Solución: -2

a) Segundo candidato: coordenada y_2

Solución: -1/2 / -0,5

a) Segundo candidato: multiplicador λ_2

Solución: -2

b) Clasificación de (-2, 1/2) con λ = 2

Solución: máximo local condicionado / máximo local / máximo relativo

b) Clasificación de (-2, -1/2) con λ = -2

Solución: mínimo local condicionado / mínimo local / mínimo relativo

c) Justifique la existencia de extremos globales

Solución: La función objetivo f es polinómica y continua. El conjunto factible es una circunferencia (cerrado y acotado, compacto). Por el teorema de Weierstrass existen extremos globales.

c) Máximo global condicionado

Solución: (-2, 1/2) / (-2, 0,5)

c) Mínimo global condicionado

Solución: (-2, -1/2) / (-2, -0,5)

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