Examen de Matemáticas II UAB 2015 · parcial maig 2015

P1. Topologia i optimització mitjançant corbes de nivell

Es considera el conjunt del pla:

$$A = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \le 9,\; y \le -x\}$$

a)

Determineu raonadament si el conjunt $A$ és obert, tancat, fitat, compacte i/o convex.

Propietat · És cert?

b)

Justifiqueu si la funció $f(x,y) = (x + 5)^2 + (y + 5)^2$ assoleix màxims i/o mínims en el domini $A$.

c)

Fent ús de les corbes de nivell de $f$, determineu els seus màxims i mínims absoluts sobre el conjunt $A$ (en cas que existeixin).

Es considera la funció vectorial $F(x, y) = (x^2 + y^2 - 3xy, x^2 - y - 9)$.

a.

[0,5 punts] Calculeu el seu domini.

Es considera la funció vectorial $F(x, y) = (x^2 + y^2 - 3xy, x^2 - y - 9)$.

b)

Calculeu la seva matriu jacobiana en el punt $(1, 1)$.

c)

Determineu si la matriu jacobiana en el punt $(1, 1)$ és una matriu invertible.

Sí

No

P3. Pla tangent a una superfície

Donada la funció $g(x, y) = e^x - y^2 + 3x^2y$, trobeu l'equació del seu pla tangent en el punt $(0, 0)$.