Sujet du Bac STI2D Physique-Chimie et Mathématiques 2024 · Métropole remplacement

EXERCICE 1 (4 points) (physique-chimie et mathématiques)

Isolation phonique et réverbération

La réverbération est un phénomène acoustique qui désigne la persistance d'un son dans un espace clos lorsque sa source a cessé d'émettre.

Pour atténuer ce phénomène, une solution consiste à installer des panneaux de matériaux absorbants acoustiques sur les murs. Cet exercice étudie les propriétés d'absorption acoustique de deux matériaux, la mousse de mélamine et le feutre acoustique.

Donnée

On rappelle la relation entre niveau sonore et intensité acoustique:

$$L = 10 \log \frac{I}{I_0}$$ où:

$L$ est le niveau sonore en dB;

$I$ est l'intensité acoustique du son considéré en $\text{W}\cdot\text{m}^{-2}$;

$I_0$ est l'intensité acoustique correspondant au seuil conventionnel d'audibilité, soit $10^{-12}\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}$;

$\log$ désigne le logarithme décimal.

Pour caractériser l'absorption des ondes sonores dans la mousse de mélamine, on place une source d'ondes sonores en contact avec une plaque de ce matériau, comme représenté sur la figure 1. On note $I(x)$ l'intensité acoustique de l'onde sonore après traversée d'une épaisseur $x$ de matériau absorbant.

Dans un modèle simple, on montre que l'intensité sonore $I(x)$ dans la mousse de mélamine vérifie la relation:

$$\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}x} = -\mu\,I(x)$$ où $\mu$ est un coefficient caractéristique du matériau.

Pour la mousse de mélamine, on a: $\mu = 0{,}262\text{ cm}^{-1}$.

Pour des valeurs de $x$, en cm, l'intensité acoustique $I(x)$ peut donc être obtenue en résolvant l'équation différentielle:

$$(E): y' = -0{,}262\,y$$

Q1.

Calculer la valeur de l'intensité acoustique $I_1$ correspondant à un son de niveau sonore $L_1 = 85\text{ dB}$.

On étudie par ailleurs expérimentalement les propriétés d'une plaque d'isolant acoustique constituée de feutrine de polyester, selon le protocole suivant.

Dans une première expérience, le signal sonore est reçu directement par un récepteur après propagation dans l'air (figure 2.a). Dans une deuxième expérience, on intercale une plaque de feutrine de polyester entre l'émetteur et le récepteur (figure 2.b). Le signal reçu est, dans les deux cas, visualisé à l'oscilloscope, comme indiqué sur les figures 2.a et 2.b ci-après. La puissance de l'onde émise par l'émetteur est identique dans les deux cas. Au cours des deux expériences, on néglige l'atténuation du son dans l'air.

On note $U_a$ l'amplitude du signal reçu dans la première expérience, et $U_b$ celle du signal reçu dans la deuxième expérience, en présence de la plaque absorbante.

Les intensités acoustiques correspondantes sont respectivement notées $I_a$ et $I_b$.

On précise que le rapport des intensités acoustiques $\frac{I_b}{I_a}$ est donné par la relation:

$$\frac{I_b}{I_a} = \left(\frac{U_b}{U_a}\right)^2$$

Q5.

Grâce aux figures 2.a et 2.b, calculer le rapport des amplitudes $\frac{U_b}{U_a}$.

Pour une plaque d'isolant acoustique, on définit le coefficient d'absorption acoustique $\alpha = 1 - \frac{I_b}{I_a}$, de valeur comprise entre 0 et 1, qui correspond au rapport entre l'intensité absorbée par la plaque et l'intensité incidente.

Plus le coefficient $\alpha$ est élevé, plus la plaque absorbe efficacement les ondes sonores.

Q6.

En s'appuyant sur le document 1 ci-après, montrer que la plaque étudiée est de classe D.

Valeur de $\alpha$

Classe d'absorption

$\alpha > 0{,}90$ · A

$0{,}80 < \alpha \le 0{,}90$ · B

$0{,}60 < \alpha \le 0{,}80$ · C

$0{,}30 < \alpha \le 0{,}60$ · D

$0{,}15 < \alpha \le 0{,}30$ · E

$\alpha < 0{,}15$ · Non classé

Document 1 – Classes d'absorption acoustique de matériaux absorbants, selon la norme ISO 11654

EXERCICE 1 (4 points) (physique-chimie et mathématiques)

Isolation phonique et réverbération

La réverbération est un phénomène acoustique qui désigne la persistance d'un son dans un espace clos lorsque sa source a cessé d'émettre.

Pour atténuer ce phénomène, une solution consiste à installer des panneaux de matériaux absorbants acoustiques sur les murs. Cet exercice étudie les propriétés d'absorption acoustique de deux matériaux, la mousse de mélamine et le feutre acoustique.

Donnée

On rappelle la relation entre niveau sonore et intensité acoustique:

$$L = 10 \log \frac{I}{I_0}$$ où:

$L$ est le niveau sonore en dB;

$I$ est l'intensité acoustique du son considéré en $\text{W}\cdot\text{m}^{-2}$;

$I_0$ est l'intensité acoustique correspondant au seuil conventionnel d'audibilité, soit $10^{-12}\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}$;

$\log$ désigne le logarithme décimal.

Pour caractériser l'absorption des ondes sonores dans la mousse de mélamine, on place une source d'ondes sonores en contact avec une plaque de ce matériau, comme représenté sur la figure 1. On note $I(x)$ l'intensité acoustique de l'onde sonore après traversée d'une épaisseur $x$ de matériau absorbant.

Dans un modèle simple, on montre que l'intensité sonore $I(x)$ dans la mousse de mélamine vérifie la relation:

$$\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}x} = -\mu\,I(x)$$ où $\mu$ est un coefficient caractéristique du matériau.

Pour la mousse de mélamine, on a: $\mu = 0{,}262\text{ cm}^{-1}$.

Pour des valeurs de $x$, en cm, l'intensité acoustique $I(x)$ peut donc être obtenue en résolvant l'équation différentielle:

$$(E): y' = -0{,}262\,y$$

Q2.

Déterminer les solutions sur $[0; +\infty[$ de l'équation différentielle $(E): y' = -0,262\,y$.

Q3.

Montrer que la fonction $f$ définie sur $[0; +\infty[$ par $f(x) = 3,2\cdot 10^{-4}\text{e}^{-0,262x}$ est la solution particulière de $(E)$ vérifiant la condition initiale $f(0) = 3,2\cdot 10^{-4}$.

EXERCICE 1 (4 points) (physique-chimie et mathématiques)

Isolation phonique et réverbération

La réverbération est un phénomène acoustique qui désigne la persistance d'un son dans un espace clos lorsque sa source a cessé d'émettre.

Pour atténuer ce phénomène, une solution consiste à installer des panneaux de matériaux absorbants acoustiques sur les murs. Cet exercice étudie les propriétés d'absorption acoustique de deux matériaux, la mousse de mélamine et le feutre acoustique.

Donnée

On rappelle la relation entre niveau sonore et intensité acoustique:

$$L = 10 \log \frac{I}{I_0}$$ où:

$L$ est le niveau sonore en dB;

$I$ est l'intensité acoustique du son considéré en $\text{W}\cdot\text{m}^{-2}$;

$I_0$ est l'intensité acoustique correspondant au seuil conventionnel d'audibilité, soit $10^{-12}\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}$;

$\log$ désigne le logarithme décimal.

Pour caractériser l'absorption des ondes sonores dans la mousse de mélamine, on place une source d'ondes sonores en contact avec une plaque de ce matériau, comme représenté sur la figure 1. On note $I(x)$ l'intensité acoustique de l'onde sonore après traversée d'une épaisseur $x$ de matériau absorbant.

Dans un modèle simple, on montre que l'intensité sonore $I(x)$ dans la mousse de mélamine vérifie la relation:

$$\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}x} = -\mu\,I(x)$$ où $\mu$ est un coefficient caractéristique du matériau.

Pour la mousse de mélamine, on a: $\mu = 0{,}262\text{ cm}^{-1}$.

Pour des valeurs de $x$, en cm, l'intensité acoustique $I(x)$ peut donc être obtenue en résolvant l'équation différentielle:

$$(E): y' = -0{,}262\,y$$

Q4.

Résoudre sur $[0; +\infty[$ l'équation $\text{e}^{-0,262 x} = 0,5$. Déterminer la distance de propagation $d$ au bout de laquelle l'intensité acoustique de l'onde est divisée par 2.

EXERCICE 2 (7 points) (physique-chimie)

Impact de la pollution atmosphérique sur les bâtiments historiques

Les sculptures et monuments historiques construits en pierres calcaires souffrent de l'action de la pollution atmosphérique des villes.

Ainsi, la dissolution du dioxyde de soufre présent dans l'air dans les eaux de pluies entraîne la formation d'acide sulfurique $\mathrm{H_2SO_{4(aq)}}$.

Celui-ci se dissocie totalement dans l'eau en libérant des ions $\mathrm{H_3O^+_{(aq)}}$. Le $pH$ des eaux de pluie peut alors être inférieur à 5.

Données:

Formule du calcaire: $\mathrm{CaCO_{3(s)}}$ ou $(\mathrm{Ca^{2+}, CO_3^{2-}})_{\mathrm{(s)}}$.

Les couples acides bases à considérer dans cette étude sont: $$\mathrm{HCO_{3(aq)}^- \ / \ CO_{3(aq)}^{2-}}$$$$\mathrm{H_3O^+_{(aq)} \ / \ H_2O_{(l)}}$$

Q1.

À partir des informations données en début d'exercice, justifier le caractère acide des eaux de pluies dans lesquelles le dioxyde de soufre présent dans l'air s'est dissout.

Q2.

Écrire l'équation de la réaction acide-base qui a lieu lorsque les ions oxonium $\text{H}_3\text{O}^+_{(\text{aq})}$ réagissent avec les ions carbonate $\text{CO}_3^{2-}{}_{(\text{aq})}$ du calcaire. Les ions calcium $\text{Ca}^{2+}$ sont spectateurs, ils n'interviennent pas dans le bilan de la réaction.

Étude expérimentale

Pour étudier au laboratoire l'action de l'eau acidifiée par l'acide sulfurique sur la pierre composant les immeubles on met en présence un morceau de calcaire cylindrique calibré et une solution d'acide sulfurique dont le $p\text{H}$ vaut 4,5.

À l'instant initial, on plonge le morceau de calcaire dans la solution, on déclenche le chronomètre et on mesure la diminution de la masse de calcaire au cours du temps, au milligramme près.

Document 1 – Photo du matériel expérimental

Réactifs et matériel mis en œuvre:

Une solution aqueuse d'acide sulfurique de $p\text{H} = 4{,}5$.

Un morceau de pierre calcaire.

Un chronomètre.

Un agitateur magnétique.

Une balance de précision à 0,001 g.

Les résultats de l'expérience sont consignés dans le tableau du document 2.

Document 2 - masse des pierres calcaires en fonction du temps Temps (minutes) · 0 · 30 · 60 · 90 · 150 · 210 · 270 · 495 · 1000

$m_{\text{calcaire}}$ (g) · 4,622 · 4,622 · 4,622 · 4,621 · 4,622 · 4,620 · 4,610 · 4,605 · 4,600

Q3.

Calculer la concentration en ions $\text{H}_3\text{O}^+_{(\text{aq})}$ dans la solution à l'instant initial.

Q4.

À l'aide des données du tableau, calculer la perte de masse de calcaire a diminué pour une durée d'expérience de 4,5 h.

La surface du morceau de pierre en contact avec la solution d'acide sulfurique est $S = 6{,}7 \times 10^{-4}\text{ m}^2$ et la masse volumique du calcaire est $\rho = 2{,}500 \times 10^6\text{ g}\cdot\text{m}^{-3}$.

Q5.

Calculer la diminution du volume de la pierre, notée $\Delta V$, au bout d'une durée de présence dans la solution de 4,5 h.

Q6.

Sachant que la variation de volume de la pierre entraine une diminution de l'épaisseur $\Delta e = \frac{\Delta V}{S}$, montrer que la diminution d'épaisseur de la partie de la pierre en contact avec la solution d'acide sulfurique vaut: $\Delta e = 7{,}2\ \mu\text{m}$.

En admettant que la vitesse d'attaque du calcaire par l'acide reste constante, calculer le temps nécessaire pour que la réaction ait enlevé une couche de 1 mm d'épaisseur au calcaire.

La formation de gypse

La présence de dioxyde de soufre dans l'air entraîne également la formation de gypse (sulfate de calcium) sur les pierres calcaires. Ce dépôt de gypse protège le calcaire de l'action des pluies acides mais il forme des dépôts noirs sur les façades.

Q7.

Expliquer en quoi la formation de gypse peut limiter l'action des pluies acides sur la pierre.

EXERCICE 2 (7 points) (physique-chimie)

Impact de la pollution atmosphérique sur les bâtiments historiques

Les sculptures et monuments historiques construits en pierres calcaires souffrent de l'action de la pollution atmosphérique des villes.

Ainsi, la dissolution du dioxyde de soufre présent dans l'air dans les eaux de pluies entraîne la formation d'acide sulfurique $\mathrm{H_2SO_{4(aq)}}$.

Celui-ci se dissocie totalement dans l'eau en libérant des ions $\mathrm{H_3O^+_{(aq)}}$. Le $pH$ des eaux de pluie peut alors être inférieur à 5.

Données:

Formule du calcaire: $\mathrm{CaCO_{3(s)}}$ ou $(\mathrm{Ca^{2+}, CO_3^{2-}})_{\mathrm{(s)}}$.

Les couples acides bases à considérer dans cette étude sont: $$\mathrm{HCO_{3(aq)}^- \ / \ CO_{3(aq)}^{2-}}$$$$\mathrm{H_3O^+_{(aq)} \ / \ H_2O_{(l)}}$$

Afin de redonner aux pierres leur couleur d'origine, on peut ôter le gypse à l'aide d'une source laser dont le document 4 présente les caractéristiques. Ce laser émet des impulsions lumineuses.

Modèle

Longueur d'onde

Durée d'une impulsion

Nombre de photons par impulsion

Puissance moyenne du laser

Section du faisceau laser

Laser

$1064\text{ nm}$

$100\text{ ns}$

$4{,}0 \times 10^{14}$

$300\text{ W}$

$1{,}4 \times 10^{-2}\text{ m}^2$

Document 4 – Caractéristiques du laser utilisé

Q8.

Montrer que l'énergie d'un photon émis par ce laser a pour valeur $E_{\text{photon}} = 1{,}87 \times 10^{-19}\text{ J}$.

On donne $h = 6{,}63 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}$ et $c = 3{,}00 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$.

Q9.

À partir de la question précédente et des caractéristiques de la source laser utilisée, montrer que l'énergie $E_{\text{imp}}$ émise lors d'une impulsion vaut environ $7{,}5 \times 10^{-5}\text{ J}$.

Q10.

Si le laser émet $n_{\text{imp}}$ impulsions par seconde, montrer que sa puissance moyenne $P_{\text{moy}}$ vérifie: $P_{\text{moy}} = n_{\text{imp}} \times E_{\text{imp}}$.

Calculer la valeur du nombre d'impulsions par seconde, $n_{\text{imp}}$.

impulsions/s (ou $\text{s}^{-1}$)

L'utilisation de ce laser nécessite le port de verres de protection par l'opérateur.

Le choix du type de verre à utiliser dépend de l'énergie émise par impulsion mais aussi de l'irradiance (en $\text{W}\cdot\text{m}^{-2}$) du faisceau laser.

Le document 5 indique les types de verre à porter en fonction de la valeur de ces deux grandeurs.

Numéro d'échelon des verres

Irradiance moyenne ($\text{W}\cdot\text{m}^{-2}$)

Énergie maximale par impulsion ($\text{J}$)

R1

$1 \times 10^2$

$2 \times 10^{-6}$

R2

$1 \times 10^3$

$2 \times 10^{-5}$

R3

$1 \times 10^4$

$2 \times 10^{-4}$

R4

$1 \times 10^5$

$2 \times 10^{-3}$

R5

$1 \times 10^6$

$2 \times 10^{-2}$

Document 5 – Type de verres de protection en fonction de l'énergie maximale par impulsion et de l'irradiance maximale (normes AFNOR).

Q11.

En considérant uniquement l'énergie émise par une impulsion, indiquer le numéro d'échelon des verres de protection nécessaires.

Q12.

À partir des données du document 4, calculer l'irradiance moyenne pour la source laser utilisée.

Expliquer pourquoi l'opérateur doit au minimum porter des protections de type R4 lors de l'utilisation du laser.

EXERCICE 3 (4 points) (mathématiques)

Dans cet exercice, les questions 1, 2, 3 et 4 sont indépendantes les unes des autres.

Question 1

Pour cette question, indiquer la lettre de la réponse exacte.

Aucune justification n'est demandée.

Pour tout nombre réel $x > 0$, l'expression $3\ln(2x) - \ln(8)$ est égale à:

EXERCICE 3 (4 points) (mathématiques)

Dans cet exercice, les questions 1, 2, 3 et 4 sont indépendantes les unes des autres.

Question 2

Pour cette question, indiquer la lettre de la réponse exacte.

Aucune justification n'est demandée.

Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x^2\mathrm{e}^{-2x}$. On admet que $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $g'$ la fonction dérivée de $g$. Pour tout nombre réel $x$, on a:

EXERCICE 3 (4 points) (mathématiques)

Dans cet exercice, les questions 1, 2, 3 et 4 sont indépendantes les unes des autres.

Question 3

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé $(O; \vec{u}, \vec{v})$. On désigne par $\mathrm{i}$ le nombre complexe de module 1 et d'argument $\frac{\pi}{2}$.

Soient les points A et B d'affixes respectives $z_A = 2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$ et $z_B = -\sqrt{3} + \mathrm{i}$.

Donner la forme algébrique de $z_A$ ainsi que la forme exponentielle de $z_B$.

EXERCICE 3 (4 points) (mathématiques)

Dans cet exercice, les questions 1, 2, 3 et 4 sont indépendantes les unes des autres.

Question 4

En faisant apparaître les étapes de calcul, calculer:

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(2x)\,\mathrm{d}x$$

EXERCICE 4 (5 points) (physique-chimie)

Mouvement d'un drone

Un drone utilisé en surveillance géographique a été filmé pendant la phase de décollage, durant laquelle son mouvement est vertical ascendant.

Les caractéristiques du mouvement ainsi mesurées figurent sur les documents 1, 2 et 3.

Étude du mouvement du drone pendant le décollage

Q1.

Grâce aux documents 1, 2 et 3 déterminer le type de mouvement dont le drone est animé lors du décollage. Justifier votre réponse à l'aide de deux arguments.

Q2.

À l'aide du document 1, déterminer la distance parcourue par le drone pendant les 3 premières secondes de la phase de décollage.

Q3.

À l'aide du document 2, calculer la valeur de l'accélération $a_z$ du drone pendant la phase de décollage. Préciser si cette valeur est cohérente avec le document 3.

On admet que l'on peut appliquer le principe fondamental de la dynamique dans la situation étudiée. La masse du drone étudiée est $m = 895\text{ g}$.

Q4.

Montrer que la valeur de la résultante des forces $\vec{F}_{\text{totale}}$ exercées sur le drone pendant ce mouvement est $F_{\text{totale}} = 9,8 \times 10^{-1}\text{ N}$.

Q5.

Rappeler des caractéristiques du poids $\vec{P}$. Donner l'expression de sa valeur et la calculer. On donne la valeur de l'intensité de la pesanteur: $g = 9,81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}$.

Lors du décollage, le mouvement du drone est vertical vers le haut. Il n'est alors soumis qu'à son poids noté $\vec{P}$ et à la force, notée $\vec{F}_{\text{air}}$, composée de la force de traction de l'air due aux hélices et de la traînée aérodynamique.

Q6.

En expliquant le raisonnement suivi, déterminer la direction, le sens et la valeur de la force $\vec{F}_{\text{air}}$. On s'aidera d'un schéma modélisant la situation, sans souci d'échelle. Toute prise d'initiative pertinente du candidat, même inaboutie, sera valorisée.

EXERCICE 4 (5 points) (physique-chimie)

Mouvement d'un drone

Un drone utilisé en surveillance géographique a été filmé pendant la phase de décollage, durant laquelle son mouvement est vertical ascendant.

Les caractéristiques du mouvement ainsi mesurées figurent sur les documents 1, 2 et 3.

Caractéristiques de la télécommande du drone

La télécommande qui permet de piloter le drone contient quatre antennes de longueur $3{,}13\text{ cm}$ et utilise une fréquence de l'ordre de $2{,}400\text{ GHz}$.

Q7.

Calculer la longueur d'onde du signal utilisé pour piloter le drone.

Donnée: célérité de la lumière $c = 3{,}00 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$.

La longueur d'une antenne demi-onde pour une télécommande est égale à la moitié de la longueur d'onde de la radiation transmise. Dans le cas d'une antenne quart d'onde, cette longueur vaut le quart de la longueur d'onde de la radiation transmise.

Q8.

Déterminer si les antennes qui équipent la télécommande sont du type quart d'onde ou demi-onde.