Exercice 1 - Équations différentielles · Bac STI2D Physique-Chimie et Mathématiques Métropole remplacement 2024

EXERCICE 1 (4 points) (physique-chimie et mathématiques)

Isolation phonique et réverbération

La réverbération est un phénomène acoustique qui désigne la persistance d'un son dans un espace clos lorsque sa source a cessé d'émettre.

Pour atténuer ce phénomène, une solution consiste à installer des panneaux de matériaux absorbants acoustiques sur les murs. Cet exercice étudie les propriétés d'absorption acoustique de deux matériaux, la mousse de mélamine et le feutre acoustique.

Donnée

On rappelle la relation entre niveau sonore et intensité acoustique:

$$L = 10 \log \frac{I}{I_0}$$ où:

$L$ est le niveau sonore en dB;

$I$ est l'intensité acoustique du son considéré en $\text{W}\cdot\text{m}^{-2}$;

$I_0$ est l'intensité acoustique correspondant au seuil conventionnel d'audibilité, soit $10^{-12}\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}$;

$\log$ désigne le logarithme décimal.

Pour caractériser l'absorption des ondes sonores dans la mousse de mélamine, on place une source d'ondes sonores en contact avec une plaque de ce matériau, comme représenté sur la figure 1. On note $I(x)$ l'intensité acoustique de l'onde sonore après traversée d'une épaisseur $x$ de matériau absorbant.

Dans un modèle simple, on montre que l'intensité sonore $I(x)$ dans la mousse de mélamine vérifie la relation:

$$\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}x} = -\mu\,I(x)$$ où $\mu$ est un coefficient caractéristique du matériau.

Pour la mousse de mélamine, on a: $\mu = 0{,}262\text{ cm}^{-1}$.

Pour des valeurs de $x$, en cm, l'intensité acoustique $I(x)$ peut donc être obtenue en résolvant l'équation différentielle:

$$(E): y' = -0{,}262\,y$$

Q2.

Déterminer les solutions sur $[0; +\infty[$ de l'équation différentielle $(E): y' = -0,262\,y$.

Q3.

Montrer que la fonction $f$ définie sur $[0; +\infty[$ par $f(x) = 3,2\cdot 10^{-4}\text{e}^{-0,262x}$ est la solution particulière de $(E)$ vérifiant la condition initiale $f(0) = 3,2\cdot 10^{-4}$.