Exercice Sous-partie 1 - Questions 1.2 et 1.4 · Bac Sciences de l'Ingénieur Métropole 2026 (sujet 1)

Partie 1 - Sciences de l’ingénieur

Catamaran électrique à foils

Le catamaran électrique à foils est destiné à la navigation de plaisance sur des plans d’eau (rivière, lac et mer) soumis à des vagues de petites dimensions inférieures à 40 cm.

Ce catamaran étant destiné à la location et devant être pilotable par des personnes ne disposant pas du permis bateau, la puissance du moteur est limitée à 6 chevaux-vapeur.

Un foil est une aile fixée sous la coque, qui a pour rôle de soulever le bateau. Quand le bateau accélère, le foil crée une force (la portance) qui soulève progressivement la coque au-dessus de l’eau: ce phénomène est appelé le déjaugeage. Grâce à ce déjaugeage, le bateau vole presque au-dessus de l’eau, ce qui réduit sa traînée et permet donc de diminuer sa consommation.

Les foils, en levant le catamaran au-dessus des flots, permettent une vitesse de déplacement jusqu’à 15 nœuds procurant une sensation de vitesse satisfaisante. La propulsion électrique permet une navigation sans bruit.

Le catamaran est entièrement automatisé pour stabiliser la hauteur de vol et l’assiette.

Le catamaran est composé de plusieurs éléments (figure 1) permettant d’assurer notamment la flottaison, le vol, la stabilité et la direction.

Le catamaran est propulsé par un moteur électrique couplé à une hélice.

L’alimentation en énergie du bateau est assurée par une batterie située sous le siège. Elle est extractible pour permettre sa recharge sur la terre ferme.

Le vol est assuré par trois foils, deux foils avant et un foil arrière.

Pour pouvoir piloter le bateau, l’utilisateur dispose d’un volant pour la direction et d’une gâchette pour la vitesse. La transmission des données se fait par une liaison sans fil. Seul le mât de foil arrière est orientable pour gérer le cap du bateau.

La stabilité du catamaran, aussi bien dans le maintien de la hauteur de vol que dans l’assiette horizontale, est gérée par la modification de la portance des foils avant et arrière (figure 2).

Les deux foils avant peuvent basculer individuellement face au courant pour modifier le coefficient de portance. La modification de portance du foil arrière est réalisée par deux volets indépendants et orientables.

Le diagramme partiel des exigences (figure 3) permet de préciser certaines des capacités du catamaran.

Sous-partie 1

Capacité de vol du catamaran et stabilité

L’objectif de cette sous-partie est de vérifier les capacités de vol du catamaran et sa stabilité.

Dans cette première partie, l’étude du vol du catamaran est étudiée, que ce soit pour le déjaugeage ou pour la stabilité du vol. Le déjaugeage est un changement de régime de l’avancement d’un objet dans l’eau, d’un régime archimédien (l’objet flotte par poussée d’Archimède) à un régime dynamique où sa vitesse lui permet d’être porté par ses foils.

Les phases de navigation (figure 4) sont au nombre de trois. La première phase concerne le catamaran à l’arrêt ou à faible vitesse. La coque est dans l’eau et la flottaison est principalement assurée par la poussée d’Archimède. La deuxième phase est caractérisée par une vitesse du bateau suffisamment grande pour que les foils le soulèvent. C’est la phase normale de navigation: la coque étant hors de l’eau, la force de traînée de celle-ci devient très faible, et permet une navigation avec une consommation d’énergie minimale. La troisième phase correspond à un fonctionnement dégradé. Le foil se situe à la surface de l’eau et fournit une force de portance instable: elle existe quand le foil est dans l’eau, elle s’annule quand le foil est dans l’air.

Le profil des foils en déplacement dans un courant d’eau crée deux actions mécaniques (figure 5): une force de traînée qui freine le déplacement de l’embarcation et une force de portance qui la soulève. Les forces de traînée et de portance sont définies par les relations:

$$F_x = \frac{1}{2}\cdot \gamma\cdot S\cdot C_x\cdot V^2 \quad\text{et}\quad F_z = \frac{1}{2}\cdot \gamma\cdot S\cdot C_z\cdot V^2 \quad\text{avec:}$$

$F_x$ et $F_z$, forces de traînée et de portance ($\text{N}$);

$\gamma$, masse volumique de l’eau ($\text{kg}\cdot\text{m}^{-3}$);

$S$, surface alaire du foil ($\text{m}^2$);

$C_x$ et $C_z$, coefficients de traînée et de portance;

$V$, vitesse relative du fluide par rapport au catamaran ($\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$).

Une étude est menée pour valider le déjaugeage du catamaran. Le schéma du document réponse DR1 représente le catamaran avec son pilote, dans la phase 2, coque complètement sortie de l’eau.

Hypothèses:

le repère $(O, \vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$ est considéré galiléen;

l’étude est menée dans le cas d’un problème plan $(O, \vec{z}, \vec{x})$;

l’ensemble $E = \{\text{bateau} + \text{pilote}\}$ se déplace à vitesse constante de 8 nœuds;

l’effet de l’air est considéré négligeable comparé aux autres efforts;

le point $G$ est le centre de gravité de l’ensemble $E$;

la masse du bateau est $m_B = 100\text{ kg}$, celle du pilote $m_P = 90\text{ kg}$, l’accélération de la pesanteur $g = 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}$;

le point $C$ est le centre de poussée de l’hélice, où s’applique la force $\vec{F}_{\text{eau}\to\text{bateau}} = \|\vec{F}_{\text{eau}\to\text{bateau}}\|\cdot \vec{x}$ avec $\|\vec{F}_{\text{eau}\to\text{bateau}}\| = 1\,200\text{ N}$;

la surface alaire d’un foil avant $S_{\text{avant}}$ est de $0{,}08\text{ m}^2$, son coefficient de portance $C_z$ de $0{,}8$;

la surface alaire du foil arrière $S_{\text{arrière}}$ est de $0{,}12\text{ m}^2$, son coefficient de portance $C_z$ de $0{,}8$.

En réalité, l’étude du déjaugeage du catamaran est plus complexe. Plusieurs étapes se succèdent avant stabilisation du catamaran. Lors de l’accélération de l’embarcation, la portance des foils augmente progressivement sans provoquer la sortie de la coque de l’eau. Lorsque le bateau a acquis une vitesse suffisante, la portance ayant augmenté, le déjaugeage s’opère et la profondeur d’immersion du foil diminue. La dernière étape consiste à stabiliser le vol. En effet, pour un confort optimal de navigation, la profondeur d’immersion du foil (figure 4) doit se situer à 300 mm sous la surface libre de l’eau pour éviter les perturbations liées aux vaguelettes et au clapot. Le foil ne doit pas se situer en surface sous peine d’être soumis à des chocs successifs dans les vagues, rendant le vol inconfortable.

Un modèle multi-physique (figure 6) a été conçu. Il permet de simuler le décollage et le début de stabilisation du vol. Il intègre la vitesse de déplacement, le poids, la poussée d’Archimède et la force résultant de la portance des foils. Pour régler la hauteur de vol, un asservissement sur l’orientation des foils est mis en place. La variation d’orientation permet d’augmenter ou diminuer le coefficient de portance.

La figure 7 fournit la réponse du système pour trois correcteurs différents.

L’orientation des volets du foil arrière ou l’orientation des foils avant permettent de stabiliser également l’horizontalité. La variation de portance en « + » correspond à une augmentation de la portance, la variation en « - » à une diminution.

Question 1.2

Tracer sur le document réponse DR1 les directions et les sens des actions mécaniques s'appliquant sur l'ensemble E, en les nommant. À partir du théorème de la résultante dynamique en projection sur $\vec{z}$, montrer que la vitesse de déjaugeage est donnée par la relation:

$$V_{\text{déj}} = \sqrt{\frac{(m_B + m_P) \cdot g}{\gamma \cdot C_z \cdot \left(S_{\text{avant}} + \frac{1}{2} S_{\text{arrière}}\right)}}$$

Calculer $V_{\text{déj}}$ et conclure sur la vitesse de déjaugeage annoncée.

Question 1.4

Compléter sur le DR1, par des signes « + » et « - », le sens de basculement du catamaran et la variation de profondeur d'immersion en fonction de l'orientation des foils.

Variation de portance foil arrière

Variation de portance foils avant

Variation de profondeur d'immersion

Sens de basculement

-

-

-

—

-

+

—

+

-

—

+

+

—