Sujet du Bac Sciences de l'Ingénieur 2023 · Métropole 2

Partie 1 - Sciences de l'ingénieur

Robot horticole

Le robot horticole Trooper (figure 1) est un robot autonome chargé de transporter des pots de fleurs. Il s'acquitte des tâches répétitives et pénibles de manutention en toute autonomie, telles que représentées figure 2:

le distançage qui consiste à écarter les pots au printemps pour que les plantes aient la place de s'épanouir;

le resserrage qui consiste à resserrer les pots à l'automne afin que les plantes se tiennent chaud et qu'il soit plus facile de les bâcher;

le transfert de planche de production qui consiste à déplacer des ensembles de pots d'un endroit à un autre.

Ce robot est constitué:

d'une batterie Li-Ion;

d'un châssis motorisé par deux moteurs à courant continu commandés indépendamment;

d'un magasin de stockage pouvant accueillir six pots de deux litres ou six pots de quatre litres ou trois pots de dix litres;

d'une pince de serrage munie de bras afin de saisir les pots;

d'un système de levage permettant la translation circulaire du pot (le mouvement est imposé par un motoréducteur associé à un système pignon-chaîne).

Le diagramme des exigences est présenté sur la figure 3.

Sous-partie 1: Permettre le positionnement des pots en toute sécurité

Question 1.1

Extraire du diagramme des exigences (figure 3) les informations sur la précision attendue du déplacement.

Partie 1 - Sciences de l'ingénieur

Robot horticole

Le robot horticole Trooper (figure 1) est un robot autonome chargé de transporter des pots de fleurs. Il s'acquitte des tâches répétitives et pénibles de manutention en toute autonomie, telles que représentées figure 2:

le distançage qui consiste à écarter les pots au printemps pour que les plantes aient la place de s'épanouir;

le resserrage qui consiste à resserrer les pots à l'automne afin que les plantes se tiennent chaud et qu'il soit plus facile de les bâcher;

le transfert de planche de production qui consiste à déplacer des ensembles de pots d'un endroit à un autre.

Ce robot est constitué:

d'une batterie Li-Ion;

d'un châssis motorisé par deux moteurs à courant continu commandés indépendamment;

d'un magasin de stockage pouvant accueillir six pots de deux litres ou six pots de quatre litres ou trois pots de dix litres;

d'une pince de serrage munie de bras afin de saisir les pots;

d'un système de levage permettant la translation circulaire du pot (le mouvement est imposé par un motoréducteur associé à un système pignon-chaîne).

Le diagramme des exigences est présenté sur la figure 3.

L'étude porte sur un déplacement en ligne droite d'une distance de 20 m. Les données concernant la base mobile du robot sont fournies sur la chaîne de puissance de la figure 4.

Question 1.2

Calculer le nombre de tours effectués par la roue pour le déplacement souhaité de 20 m. En déduire que le nombre d'impulsions du codeur correspondant est de 9 905.

Question 1.3

À l'aide du résultat obtenu précédemment, calculer la précision du positionnement sur le déplacement étudié. Conclure par rapport à l'exigence de précision.

Partie 1 - Sciences de l'ingénieur

Robot horticole

Le robot horticole Trooper (figure 1) est un robot autonome chargé de transporter des pots de fleurs. Il s'acquitte des tâches répétitives et pénibles de manutention en toute autonomie, telles que représentées figure 2:

le distançage qui consiste à écarter les pots au printemps pour que les plantes aient la place de s'épanouir;

le resserrage qui consiste à resserrer les pots à l'automne afin que les plantes se tiennent chaud et qu'il soit plus facile de les bâcher;

le transfert de planche de production qui consiste à déplacer des ensembles de pots d'un endroit à un autre.

Ce robot est constitué:

d'une batterie Li-Ion;

d'un châssis motorisé par deux moteurs à courant continu commandés indépendamment;

d'un magasin de stockage pouvant accueillir six pots de deux litres ou six pots de quatre litres ou trois pots de dix litres;

d'une pince de serrage munie de bras afin de saisir les pots;

d'un système de levage permettant la translation circulaire du pot (le mouvement est imposé par un motoréducteur associé à un système pignon-chaîne).

Le diagramme des exigences est présenté sur la figure 3.

Sous-partie 1 – Permettre le positionnement des pots en toute sécurité

Afin de permettre au robot de réaliser un déplacement en ligne droite d'une distance $d$ quelconque, la fonction Python de contrôle est fournie partiellement sur le document réponse DR1. Lors du déplacement du robot en ligne droite, celui-ci se déplace à vitesse maximale ($5\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}$) jusqu'à ce que $95\,\%$ de la distance $d$ ait été parcourue. La fin du parcours est réalisée à $50\,\%$ de la vitesse maximale. Une impulsion mesurée sur un codeur correspond à une distance parcourue de $2\text{ mm}$ par la roue correspondante.

Les fonctions à utiliser pour contrôler les moteurs des deux roues sont:

Commander_RD(vit)

Le moteur est alimenté afin de commander la rotation de la roue droite à une vitesse vit exprimée en $\text{km}\cdot\text{h}^{-1}$. L'arrêt du moteur correspond à une valeur vit = 0.

Commander_RG(vit)

Le moteur est alimenté afin de commander la rotation de la roue gauche à une vitesse vit exprimée en $\text{km}\cdot\text{h}^{-1}$. L'arrêt du moteur correspond à une valeur vit = 0.

Les variables pulse_g et pulse_d correspondent respectivement au nombre d'impulsions des codeurs incrémentaux associés à la roue gauche et à la roue droite. Leurs valeurs sont mises à jour en temps réel par un processus extérieur. Seul le codeur de gauche est utilisé en ligne droite.

Question 1.4

Compléter le programme permettant au robot de se déplacer en ligne droite selon le fonctionnement souhaité.

def avancer_ligne_droite(d): # d est la distance à parcourir en mètres

# Calcul du nombre d'impulsions correspondant à la distance d

N_impuls_d =

# Commande des moteurs pour provoquer le mouvement du robot

while pulse_g <

:

if

: # 95% de la distance parcourue

# Avance à vitesse maximale

else:

# Avance à vitesse réduite

# Arrêt des moteurs pour stopper le robot

Partie 1 - Sciences de l'ingénieur

Robot horticole

Le robot horticole Trooper (figure 1) est un robot autonome chargé de transporter des pots de fleurs. Il s'acquitte des tâches répétitives et pénibles de manutention en toute autonomie, telles que représentées figure 2:

le distançage qui consiste à écarter les pots au printemps pour que les plantes aient la place de s'épanouir;

le resserrage qui consiste à resserrer les pots à l'automne afin que les plantes se tiennent chaud et qu'il soit plus facile de les bâcher;

le transfert de planche de production qui consiste à déplacer des ensembles de pots d'un endroit à un autre.

Ce robot est constitué:

d'une batterie Li-Ion;

d'un châssis motorisé par deux moteurs à courant continu commandés indépendamment;

d'un magasin de stockage pouvant accueillir six pots de deux litres ou six pots de quatre litres ou trois pots de dix litres;

d'une pince de serrage munie de bras afin de saisir les pots;

d'un système de levage permettant la translation circulaire du pot (le mouvement est imposé par un motoréducteur associé à un système pignon-chaîne).

Le diagramme des exigences est présenté sur la figure 3.

Sous-partie 1 – Permettre le positionnement des pots en toute sécurité

L'arrêt du robot est obtenu par inversion du sens du courant dans les moteurs créant ainsi un couple résistant.

Question 1.5

À partir de la figure 4, exprimer littéralement le couple exercé sur l'essieu d'une roue $C_{\text{roue}}$ en fonction du couple moteur $C_{\text{mot}}$, du rendement réducteur $\eta_{\text{red}}$ et du rapport de réduction $i$.

Pour la valeur maximale du couple moteur, calculer la valeur maximale du couple de freinage $C_{\text{roue}}$ (en $\text{N}\cdot\text{m}$). On donne $C_{\text{mot}} = 2{,}57\text{ N}\cdot\text{m}$, $i = 1/37{,}6$ et $\eta_{\text{red}} = 0{,}75$.

Partie 1 - Sciences de l'ingénieur

Robot horticole

Le robot horticole Trooper (figure 1) est un robot autonome chargé de transporter des pots de fleurs. Il s'acquitte des tâches répétitives et pénibles de manutention en toute autonomie, telles que représentées figure 2:

le distançage qui consiste à écarter les pots au printemps pour que les plantes aient la place de s'épanouir;

le resserrage qui consiste à resserrer les pots à l'automne afin que les plantes se tiennent chaud et qu'il soit plus facile de les bâcher;

le transfert de planche de production qui consiste à déplacer des ensembles de pots d'un endroit à un autre.

Ce robot est constitué:

d'une batterie Li-Ion;

d'un châssis motorisé par deux moteurs à courant continu commandés indépendamment;

d'un magasin de stockage pouvant accueillir six pots de deux litres ou six pots de quatre litres ou trois pots de dix litres;

d'une pince de serrage munie de bras afin de saisir les pots;

d'un système de levage permettant la translation circulaire du pot (le mouvement est imposé par un motoréducteur associé à un système pignon-chaîne).

Le diagramme des exigences est présenté sur la figure 3.

L'arrêt du robot est obtenu par inversion du sens du courant dans les moteurs créant ainsi un couple résistant.

Pour la suite de l'étude, l'ensemble isolé est noté {S} = {robot 1 + chargement + roues motorisées 2 + roues arrières 3}.

Hypothèses: le modèle présente une symétrie de géométrie et d'efforts suivant le plan $(O,\vec{z},\vec{x})$; l'action de l'air sur le robot et la résistance au roulement sont négligées.

Données: $\mathcal{R}(O,\vec{x},\vec{y},\vec{z})$ repère orthonormé direct associé à la pente; $\beta = 8{,}5°$ (pente de 15 %); $\vec{P}$ le poids du robot; $g = 9{,}81\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$; $m_T = m_r + m_c$, $m_r = 30\ kg$, $m_c = 60\ kg$; G le centre de masse de {S}; A et B points de contact des roues avant {2} et arrière {3} avec le sol {0}; C et D centres de rotation des roues avant et arrière avec le robot; $\vec{N_A}$ composante normale de l'action de contact du sol {0} sur les roues motrices avant {2} appliquée en A; $\vec{T_A}$ composante tangentielle de l'action de contact du sol {0} sur les roues motrices avant {2} appliquée en A; $\vec{B_{0\to 3}}$ action de contact du sol {0} sur les roues arrière {3} appliquée en B.

Question 1.6

Écrire sous forme vectorielle les actions mécaniques $\vec{P}$, $\vec{N_A}$, $\vec{T_A}$ et $\vec{B_{0\to 3}}$ sur le robot Trooper en phase de décélération dans le repère $\mathcal{R}(O,\vec{x},\vec{y},\vec{z})$.

En appliquant le théorème de la résultante dynamique sur l'ensemble {S}, en projection sur $\vec{x}$, montrer que la décélération $a_{Gx}$ s'exprime sous la forme: $a_{Gx} = \dfrac{m_T\cdot g\cdot \sin\beta - T_A}{m_T}$.

Question 1.7

En se plaçant dans le cas le plus défavorable, la décélération est supposée constante de valeur $a_{Gx} = -9\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$. Le robot, en début de phase de freinage, a comme vitesse initiale sa vitesse maximale $V_{max} = 1{,}4\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$. Le temps d'arrêt est égal à $t_{arrêt} = 0{,}16\ s$. L'étude est effectuée avec l'hypothèse du roulement sans glissement.

Montrer que la distance $d_{arrêt}$ parcourue par le robot lors d'un freinage d'urgence dans le cas le plus défavorable est de $0{,}11\ m$.

À l'aide de la figure 3, conclure sur le respect de cette exigence.

Partie 1 - Sciences de l'ingénieur

Robot horticole

Le robot horticole Trooper (figure 1) est un robot autonome chargé de transporter des pots de fleurs. Il s'acquitte des tâches répétitives et pénibles de manutention en toute autonomie, telles que représentées figure 2:

le distançage qui consiste à écarter les pots au printemps pour que les plantes aient la place de s'épanouir;

le resserrage qui consiste à resserrer les pots à l'automne afin que les plantes se tiennent chaud et qu'il soit plus facile de les bâcher;

le transfert de planche de production qui consiste à déplacer des ensembles de pots d'un endroit à un autre.

Ce robot est constitué:

d'une batterie Li-Ion;

d'un châssis motorisé par deux moteurs à courant continu commandés indépendamment;

d'un magasin de stockage pouvant accueillir six pots de deux litres ou six pots de quatre litres ou trois pots de dix litres;

d'une pince de serrage munie de bras afin de saisir les pots;

d'un système de levage permettant la translation circulaire du pot (le mouvement est imposé par un motoréducteur associé à un système pignon-chaîne).

Le diagramme des exigences est présenté sur la figure 3.

Sous-partie 2 – Vérifier l'exigence de vitesse et l'autonomie du robot

L'objectif de cette sous-partie est de vérifier que le robot est capable de répondre à l'exigence de vitesse et de valider son autonomie énergétique.

Le modèle multiphysique établi pour la chaîne de puissance d'une des deux roues motorisées est donné figure 6.

Les grandeurs physiques utilisées pour décrire la chaîne de puissance sont:

$U_{\text{batt}}$ la tension aux bornes de la batterie et $I_{\text{batt}}$ l'intensité du courant délivré par la batterie;

$U_s$ la tension en sortie du hacheur et $I_s$ l'intensité du courant délivré par le hacheur;

$Q$ la quantité d'électricité consommée pour le déplacement du robot;

$C_{\text{mot}}$ le couple délivré par le moteur et $\omega_{\text{mot}}$ la vitesse angulaire de l'arbre moteur;

$C_{\text{roue}}$ le couple disponible sur l'axe de rotation d'une roue et $\omega_{\text{roue}}$ la vitesse angulaire d'une roue du robot;

$V$ la vitesse linéaire de déplacement du robot et $d$ la distance parcourue.

Question 1.8

Indiquer les fonctions des constituants de la chaîne de puissance ❶, ❷, ❸ et ❹ du modèle multiphysique de la figure 6.

Repères

Constituant

Fonction de la chaîne de puissance

❶

Batterie

❷

Hacheur

❸

Moteur

❹

Réducteur / Transmission

Les résultats affichés sur la figure 6 correspondent à un fonctionnement en régime établi au bout de 30 secondes pour un réglage de rapport cyclique $\alpha = 1$ du hacheur.

Question 1.9

Relever la valeur simulée en régime établi de la vitesse de déplacement du robot notée $V_S$.

Partie 1 - Sciences de l'ingénieur

Robot horticole

Le robot horticole Trooper (figure 1) est un robot autonome chargé de transporter des pots de fleurs. Il s'acquitte des tâches répétitives et pénibles de manutention en toute autonomie, telles que représentées figure 2:

le distançage qui consiste à écarter les pots au printemps pour que les plantes aient la place de s'épanouir;

le resserrage qui consiste à resserrer les pots à l'automne afin que les plantes se tiennent chaud et qu'il soit plus facile de les bâcher;

le transfert de planche de production qui consiste à déplacer des ensembles de pots d'un endroit à un autre.

Ce robot est constitué:

d'une batterie Li-Ion;

d'un châssis motorisé par deux moteurs à courant continu commandés indépendamment;

d'un magasin de stockage pouvant accueillir six pots de deux litres ou six pots de quatre litres ou trois pots de dix litres;

d'une pince de serrage munie de bras afin de saisir les pots;

d'un système de levage permettant la translation circulaire du pot (le mouvement est imposé par un motoréducteur associé à un système pignon-chaîne).

Le diagramme des exigences est présenté sur la figure 3.

Sous-partie 2 – Vérifier l'exigence de vitesse et l'autonomie du robot

Le modèle multiphysique établi pour la chaîne de puissance d'une des deux roues motorisées est donné figure 6:

Question 1.10

Relever dans le diagramme des exigences de la figure 3 la valeur de la performance attendue de la vitesse $V_A$:

Question 1.14

En observant les différents résultats de simulation figure 6 (vitesse et distance), comparer la valeur de consommation énergétique $Q$ issue de la simulation et la valeur expérimentale de consommation pour un seul moteur de déplacement $Q_{M1} = 75\text{ C}$. En prenant en compte les conditions de simulation et d'expérimentation, conclure quant à la validité du modèle.

Partie 1 - Sciences de l'ingénieur

Robot horticole

Le robot horticole Trooper (figure 1) est un robot autonome chargé de transporter des pots de fleurs. Il s'acquitte des tâches répétitives et pénibles de manutention en toute autonomie, telles que représentées figure 2:

le distançage qui consiste à écarter les pots au printemps pour que les plantes aient la place de s'épanouir;

le resserrage qui consiste à resserrer les pots à l'automne afin que les plantes se tiennent chaud et qu'il soit plus facile de les bâcher;

le transfert de planche de production qui consiste à déplacer des ensembles de pots d'un endroit à un autre.

Ce robot est constitué:

d'une batterie Li-Ion;

d'un châssis motorisé par deux moteurs à courant continu commandés indépendamment;

d'un magasin de stockage pouvant accueillir six pots de deux litres ou six pots de quatre litres ou trois pots de dix litres;

d'une pince de serrage munie de bras afin de saisir les pots;

d'un système de levage permettant la translation circulaire du pot (le mouvement est imposé par un motoréducteur associé à un système pignon-chaîne).

Le diagramme des exigences est présenté sur la figure 3.

La figure 7 illustre le parcours réalisé par le robot qui sert de scénario pour l'étude de l'autonomie énergétique.

Les hypothèses retenues pour cette étude sont:

un cycle correspond à un aller-retour de transport de 6 pots de 4 litres d'un point A à un point B distant de 20 m;

le robot effectue 12 levages des bras, 10 rotations du magasin, 12 serrages/desserrages des pinces;

les phases d'accélération et de décélération étant négligées, le robot est considéré comme se déplaçant à vitesse constante de $4{,}8\text{ km}\cdot\text{h}^{-1}$;

les déplacements entre chaque pot lors du chargement et du déchargement sont négligés.

La quantité d'électricité $Q$ peut se calculer à l'aide de la formule: $Q = I_M \times t$ où $t$ est le temps et $I_M$ le courant absorbé par un moteur lors du déplacement à vitesse constante. La mesure du courant a permis de déterminer $I_M = 2{,}5\text{ A}$.

Question 1.11

Déterminer le temps nécessaire en secondes au robot pour effectuer l'aller-retour pendant le cycle étudié.

Calculer la quantité d'électricité $Q$ en Coulomb (rappel: $1\text{ C} = 1\text{ A}\cdot\text{s}$) consommée par les deux moteurs pour assurer l'aller-retour du robot dans le cycle étudié.

Question 1.12

Compléter, sur le document réponse DR2, la consommation liée au déplacement du robot et la consommation globale $Q_G$ du système pour un cycle complet.

Cycle complet · Consommation unitaire · Nombre de mouvement(s). · Consommation totale

Mouvement Levage · $Q = 3{,}5\text{ C}$ · 12 · $42\text{ C}$

Mouvement Rotation · $Q = 2\text{ C}$ · 10 · $20\text{ C}$

Serrage/desserage · $Q = 2\text{ C}$ · 12 · $24\text{ C}$

Déplacement (Moteurs M1 et M2) · $Q = 150\text{ C}$ · 1 cycle Aller/Retour · C

Ihm/PC/capteurs/cartes · $Q = 20\text{ C}$ · ✕ · $20\text{ C}$

Consommation globale $Q_G$ · C

Question 1.13

Sachant que la batterie a pour capacité $Q = 32\text{ A}\cdot\text{h}$ et que la consommation globale est égale à $Q_G = 256\text{ C}$, déterminer le nombre de cycles que peut effectuer le robot Trooper.

En déduire le temps d'utilisation possible du robot pour l'exécution répétée du cycle étudié sachant que le temps pour effectuer un cycle est de 60 s.

Conclure quant à la capacité du robot à respecter l'exigence Id 1.2 définie sur la figure 3.

Partie 1 - Sciences de l'ingénieur

Robot horticole

Le robot horticole Trooper (figure 1) est un robot autonome chargé de transporter des pots de fleurs. Il s'acquitte des tâches répétitives et pénibles de manutention en toute autonomie, telles que représentées figure 2:

le distançage qui consiste à écarter les pots au printemps pour que les plantes aient la place de s'épanouir;

le resserrage qui consiste à resserrer les pots à l'automne afin que les plantes se tiennent chaud et qu'il soit plus facile de les bâcher;

le transfert de planche de production qui consiste à déplacer des ensembles de pots d'un endroit à un autre.

Ce robot est constitué:

d'une batterie Li-Ion;

d'un châssis motorisé par deux moteurs à courant continu commandés indépendamment;

d'un magasin de stockage pouvant accueillir six pots de deux litres ou six pots de quatre litres ou trois pots de dix litres;

d'une pince de serrage munie de bras afin de saisir les pots;

d'un système de levage permettant la translation circulaire du pot (le mouvement est imposé par un motoréducteur associé à un système pignon-chaîne).

Le diagramme des exigences est présenté sur la figure 3.

Sous-partie 3: Permettre le transfert du pot vers le magasin

L'objectif de cette sous-partie est de valider la capacité du robot à soulever un pot de 10 kg sans l'incliner.

La cinématique du système de levage est réalisée par un système quatre barres composé par le châssis {S1}, le bras supérieur {S5}, le bras inférieur {S6} et la pince {S7} (figure 8). Le motoréducteur de levage, dont la sortie est liée au pignon {S4}, entraîne la rotation du bras supérieur {S5} d'un angle de 120° par l'intermédiaire d'un système de transmission par chaîne.

L'exigence 1.3.1 du diagramme des exigences impose un chargement des pots sans les incliner de plus de 10°. Pour vérifier cette exigence, une étude graphique de la cinématique des bras est nécessaire. Les hypothèses retenues pour l'étude sont:

l'étude est effectuée dans le plan $(O, \vec{z}, \vec{x})$;

les liaisons sont supposées parfaites et sans jeu.

Question 1.15

À l'aide de la figure 8, compléter le tableau du document réponse DR3 en précisant le nom des liaisons, leur direction ainsi que la nature des mouvements du bras supérieur {S5} et du bras inférieur {S6} par rapport au châssis {S1} dans le plan $(O, \vec{z}, \vec{x})$.

En déduire les trajectoires des points U et V appartenant respectivement au bras supérieur {S5} et au bras inférieur {S6} par rapport au châssis {S1}.

Centre

Pièces

Nom de la liaison

Direction

S

Bras supérieur {S5} et châssis {S1}

T

Bras inférieur {S6} et châssis {S1}

Désignation

Pièces

Nature du mouvement

Mvt S5/S1

Bras supérieur {S5} et châssis {S1}

Mvt S6/S1

Bras inférieur {S6} et châssis {S1}

Désignation de la trajectoire du point

Nature et caractéristiques

$T_{U \in S5/S1}$

$T_{V \in S6/S1}$

Question 1.16

Sur le document réponse DR3, tracer la trajectoire $T_{U \in S5/S1}$ du point U appartenant au bras supérieur {S5} par rapport au châssis {S1} et la trajectoire $T_{V \in S6/S1}$ du point V appartenant au bras inférieur {S6} par rapport au châssis {S1}.

En déduire les positions des points U', V' et W' correspondant aux points U, V et W suite à une rotation de 120° du bras supérieur.

Question 1.17

Exploiter les tracés du document réponse DR3 et conclure sur le respect de l'exigence Id 1.3.1 définie sur la figure 3.

Une simulation a permis d'obtenir le couple à appliquer sur la roue dentée du bras supérieur {S5} en fonction de sa position angulaire lors d'une phase de levage d'un pot de 10 kg (figure 9).

Question 1.18

À partir de la figure 9, relever le couple maximal $C_{max\_S5}$ à appliquer sur la roue dentée du bras supérieur {S5} pour soulever un pot ayant une masse de 10 kg.

La figure 10 illustre la partie mécanique de la chaîne de puissance du système de levage. Le couple fourni par le motoréducteur au système de transmission pignon-chaîne est noté $C_{mr}$.

Question 1.19

Calculer le couple $C_{mr}$, correspondant au couple $C_{max\_S5}$, que le motoréducteur de levage devra fournir pour soulever un pot de 10 kg.

La vitesse angulaire du bras supérieur {S5} $\omega_{S5}$ est supposée constante lors de la rotation de 120° nécessaire au levage d'un pot.

Question 1.20

Déterminer la vitesse de rotation du moteur $\omega_{mr}$ permettant de respecter l'exigence Id 1.3.1.1 de la figure 3. En déduire la puissance fournie par le motoréducteur de levage pour soulever un pot de 10 kg.

Conclure sur la capacité du robot à soulever un pot de 10 kg:

Les motos et scooters sont une cause de nuisances sonores. Il existe deux types de contrôles: un contrôle statique et un contrôle dynamique. Ce dernier utilise un dispositif appelé « méduse » qui mesure le niveau d'intensité sonore d'un cyclomoteur en circulation. L'objectif est d'exploiter des mesures de niveaux d'intensité sonore obtenues à l'aide du dispositif « méduse » et de mettre en évidence ses limites de fonctionnement.

Données

Seuil d'audibilité de l'oreille humaine: $I_0 = 1{,}0\times10^{-12}\ \mathrm{W\cdot m^{-2}}$

Relation entre le niveau d'intensité sonore $L$ et l'intensité sonore $I$:

$$L = 10\log\left(\frac{I}{I_0}\right)$$

L'intensité sonore $I$ mesurée à une distance $d$ d'une source ponctuelle est donnée par:

$$I = k\times\frac{1}{d^2}$$

où $k$ est une constante qui dépend notamment de la puissance de la source.

Niveau d'intensité sonore maximal toléré selon la législation française: $85$ dB.

Première approche: le contrôle statique

La valeur U.1 sur la carte grise d'un cyclomoteur (voir figure 1) correspond au niveau d'intensité sonore en décibels (dB) en statique, c'est-à-dire lorsqu'un sonomètre est placé à 50 cm du pot d'échappement du cyclomoteur immobile.

Q1.

Montrez que la valeur, notée $I_{50}$, de l'intensité sonore $I$ à 50 cm du pot d'échappement du cyclomoteur immobile est: $I_{50} = 5{,}0\times10^{-5}\ \mathrm{W\cdot m^{-2}}$.

Q2.

Choisissez en justifiant, parmi les propositions ci-dessous, celle traduisant l'évolution de l'intensité sonore lorsqu'on double la distance au pot d'échappement; sa valeur sera notée $I_{100}$.

Justification:

Q3.

Montrez alors que si l'on place un sonomètre à 1 m de distance du pot d'échappement, la valeur du niveau d'intensité sonore est réduite de 6,0 dB.

Deuxième approche: le contrôle dynamique

Q4.

Indiquez le nombre de véhicules en infraction en donnant pour chacun d'eux une estimation de l'heure de passage.

Un groupe de motards traverse une commune équipée d'un dispositif « méduse ». Ils disposent du même modèle de moto et roulent tous à 50 km/h. Une première moto passe devant le dispositif « méduse » qui mesure un niveau d'intensité sonore $L_m = 78$ dB. Quelques instants plus tard, un groupe de motards s'approche du dispositif « méduse ».

Q5.

Déterminez le nombre de motos qui peuvent passer simultanément devant le dispositif sans dépasser le niveau d'intensité sonore maximal toléré.

Q6.

Émettez une critique quant à la fiabilité du dispositif « méduse ». Justifiez l'intérêt de la caméra embarquée pour confirmer la réponse à la question 4.

EXERCICE B – Sagittarius A* [10 points]

Sagittarius A* (Sgr A*) est une source intense d'ondes radios localisée au centre de la Voie Lactée et associée à la présence d'un trou noir super massif à environ 26 000 années-lumière du Système solaire.

On utilisera la notation Sgr A* pour désigner ce trou noir d'environ 4,3 millions de masses solaires situé au centre de notre galaxie. Ce trou noir est l'objet attracteur d'un amas stellaire: une douzaine d'étoiles connues sont en orbite autour de ce trou noir et leur observation régulière a permis de bien connaitre leurs caractéristiques.

Les mesures de la masse de Sagittarius A*, notée $M_{A^*}$, évoluent. Une mesure en 2002 exploitant l'orbite de l'étoile la plus proche de Sgr A* donnait une masse de 3,7 ± 1,5 millions de masses solaires. La dernière en date réalisée par l'exploitation des observations du télescope ESO-VLT en 2021 donne 4,30 ± 0,01 millions de masses solaires.

Données

Constante gravitationnelle

$G = 6{,}67 \times 10^{-11}\ \mathrm{m^3\cdot kg^{-1}\cdot s^{-2}}$

Masse solaire

$M_S = 1{,}989 \times 10^{30}\ \mathrm{kg}$

On désire, à partir des informations orbitales des étoiles, évaluer la masse $M_{A^*}$ de Sgr A*.

Contrairement aux autres étoiles de l'amas stellaire, l'étoile nommée S1 a la particularité d'avoir une orbite quasi-circulaire; on assimilera donc sa trajectoire à un cercle de rayon $R$, centré sur Sgr A*. On suppose que la seule action qui agit sur l'étoile S1 est l'attraction gravitationnelle exercée par Sgr A*.

L'étude se fait dans un référentiel supposé galiléen. Sgr A* est l'origine du repère dans lequel on suit le mouvement du système étudié S1. Les axes de ce repère pointent vers des étoiles lointaines.

Q1.

Représenter sans souci d'échelle Sgr A* et S1 en indiquant la force d'attraction gravitationnelle agissant sur S1. Indiquer sur la figure le repère de Frenet (S1, $\vec{u_t}$, $\vec{u_n}$), et le vecteur vitesse $\vec{v}$ de S1.

Q2.

En appliquant la deuxième loi de Newton, établir l'expression du vecteur accélération de l'étoile S1 en fonction notamment de $G$, $M_{A^*}$ et $R$.

Q3.

Justifier que dans l'approximation d'un mouvement circulaire, la norme du vecteur vitesse de S1 dans le référentiel de Sgr A* est constante.

Q4.

Donner l'expression de la norme $v$ du vecteur vitesse de l'étoile S1 en fonction de $G$, de $M_{A^*}$ et de $R$ la distance entre l'étoile S1 et Sgr A*.

Q5.

En exploitant l'expression de la norme du vecteur vitesse et en notant $T$ la période de S1 autour de Sgr A*, démontrer que la troisième loi de Kepler pour ce mouvement circulaire peut s'écrire: $$\frac{T^2}{R^3} = \frac{4\pi^2}{G \times M_{A^*}}$$

À l'aide d'un programme écrit en langage Python et des mesures du spectrographe SINFONI installé sur le ESO-VLT, on obtient le graphique de la figure 1 qui représente pour cinq étoiles connues de l'amas stellaire autour de Sgr A*, la variation du carré de la période de révolution, notée $T$, en fonction du cube du demi grand axe de la trajectoire noté $a$.

Q6.

L'expression de la loi de Kepler dans le cas du mouvement quasi-circulaire de S1 a été établie ci-dessus. Discuter de sa généralisation aux orbites non circulaires des autres étoiles de l'amas stellaire.

Q7.

Déterminer à l'aide des questions précédentes la valeur de la masse $M_{A^*}$ de Sgr A*. Commenter le résultat.