Exercice B - Sagittarius A* · Bac Sciences de l'Ingénieur Métropole 2023 (sujet 2)

EXERCICE B – Sagittarius A* [10 points]

Sagittarius A* (Sgr A*) est une source intense d'ondes radios localisée au centre de la Voie Lactée et associée à la présence d'un trou noir super massif à environ 26 000 années-lumière du Système solaire.

On utilisera la notation Sgr A* pour désigner ce trou noir d'environ 4,3 millions de masses solaires situé au centre de notre galaxie. Ce trou noir est l'objet attracteur d'un amas stellaire: une douzaine d'étoiles connues sont en orbite autour de ce trou noir et leur observation régulière a permis de bien connaitre leurs caractéristiques.

Les mesures de la masse de Sagittarius A*, notée $M_{A^*}$, évoluent. Une mesure en 2002 exploitant l'orbite de l'étoile la plus proche de Sgr A* donnait une masse de 3,7 ± 1,5 millions de masses solaires. La dernière en date réalisée par l'exploitation des observations du télescope ESO-VLT en 2021 donne 4,30 ± 0,01 millions de masses solaires.

Données

Constante gravitationnelle

$G = 6{,}67 \times 10^{-11}\ \mathrm{m^3\cdot kg^{-1}\cdot s^{-2}}$

Masse solaire

$M_S = 1{,}989 \times 10^{30}\ \mathrm{kg}$

On désire, à partir des informations orbitales des étoiles, évaluer la masse $M_{A^*}$ de Sgr A*.

Contrairement aux autres étoiles de l'amas stellaire, l'étoile nommée S1 a la particularité d'avoir une orbite quasi-circulaire; on assimilera donc sa trajectoire à un cercle de rayon $R$, centré sur Sgr A*. On suppose que la seule action qui agit sur l'étoile S1 est l'attraction gravitationnelle exercée par Sgr A*.

L'étude se fait dans un référentiel supposé galiléen. Sgr A* est l'origine du repère dans lequel on suit le mouvement du système étudié S1. Les axes de ce repère pointent vers des étoiles lointaines.

Q1.

Représenter sans souci d'échelle Sgr A* et S1 en indiquant la force d'attraction gravitationnelle agissant sur S1. Indiquer sur la figure le repère de Frenet (S1, $\vec{u_t}$, $\vec{u_n}$), et le vecteur vitesse $\vec{v}$ de S1.

Q2.

En appliquant la deuxième loi de Newton, établir l'expression du vecteur accélération de l'étoile S1 en fonction notamment de $G$, $M_{A^*}$ et $R$.

Q3.

Justifier que dans l'approximation d'un mouvement circulaire, la norme du vecteur vitesse de S1 dans le référentiel de Sgr A* est constante.

Q4.

Donner l'expression de la norme $v$ du vecteur vitesse de l'étoile S1 en fonction de $G$, de $M_{A^*}$ et de $R$ la distance entre l'étoile S1 et Sgr A*.

Q5.

En exploitant l'expression de la norme du vecteur vitesse et en notant $T$ la période de S1 autour de Sgr A*, démontrer que la troisième loi de Kepler pour ce mouvement circulaire peut s'écrire: $$\frac{T^2}{R^3} = \frac{4\pi^2}{G \times M_{A^*}}$$

À l'aide d'un programme écrit en langage Python et des mesures du spectrographe SINFONI installé sur le ESO-VLT, on obtient le graphique de la figure 1 qui représente pour cinq étoiles connues de l'amas stellaire autour de Sgr A*, la variation du carré de la période de révolution, notée $T$, en fonction du cube du demi grand axe de la trajectoire noté $a$.

Q6.

L'expression de la loi de Kepler dans le cas du mouvement quasi-circulaire de S1 a été établie ci-dessus. Discuter de sa généralisation aux orbites non circulaires des autres étoiles de l'amas stellaire.

Q7.

Déterminer à l'aide des questions précédentes la valeur de la masse $M_{A^*}$ de Sgr A*. Commenter le résultat.