Exercice 1 - Probabilités conditionnelles · Bac Mathématiques Métropole 2025 (sujet 1)

On compte quatre groupes sanguins dans l'espèce humaine: A, B, AB et O.

Chaque groupe sanguin peut présenter un facteur rhésus. Lorsqu'il est présent, on dit que le rhésus est positif, sinon on dit qu'il est négatif.

Au sein de la population française, on sait que:

45 % des individus appartiennent au groupe A, et parmi eux 85 % sont de rhésus positif;

10 % des individus appartiennent au groupe B, et parmi eux 84 % sont de rhésus positif;

3 % des individus appartiennent au groupe AB, et parmi eux 82 % sont de rhésus positif.

On choisit au hasard une personne dans la population française.

On désigne par:

$A$ l'évènement « La personne choisie est de groupe sanguin A »;

$B$ l'évènement « La personne choisie est de groupe sanguin B »;

$AB$ l'évènement « La personne choisie est de groupe sanguin AB »;

$O$ l'évènement « La personne choisie est de groupe sanguin O »;

$R$ l'évènement « La personne choisie a un facteur rhésus positif ».

Pour un événement quelconque $E$, on note $\overline{E}$ l'événement contraire de $E$ et $P(E)$ la probabilité de $E$.

1.

Recopier l'arbre ci-contre en complétant les dix pointillés.

Probabilités des groupes:

$P(A) =$

$P(B) =$

$P(AB) =$

$P(O) =$

Probabilités conditionnelles du rhésus:

$P_A(R) =$

$P_A(\overline{R}) =$

$P_B(R) =$

$P_B(\overline{R}) =$

$P_{AB}(R) =$

$P_{AB}(\overline{R}) =$

2.

Montrer que $P(B \cap R) = 0{,}084$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

3.

On précise que $P(R) = 0{,}8397$. Montrer que $P_O(R) = 0{,}83$.

4.

On dit qu'un individu est « donneur universel » lorsque son sang peut être transfusé à toute personne sans risque d'incompatibilité. Le groupe O de rhésus négatif est le seul vérifiant cette caractéristique. Montrer que la probabilité qu'un individu choisi au hasard dans la population française soit donneur universel est de $0{,}0714$.