Exercice 1 - Partie B · Bac Mathématiques Métropole 2 remplacement 2025

Exercice 1: (6 points)

El Niño est un phénomène océanique à grande échelle du Pacifique équatorial qui affecte le régime des vents, la température de la mer et les précipitations sur l'ensemble du globe. Certaines années, ce phénomène est dit « dominant ». Les scientifiques cherchent à modéliser l'apparition de ce phénomène.

Dans cet exercice, les parties A et B sont indépendantes.

Partie B - Second modèle

Après une étude d'un recueil de données plus important sur les 50 dernières années, une autre modélisation apparaît plus pertinente:

si le phénomène El Niño est dominant une année, alors la probabilité qu'il le soit encore l'année suivante est 0,5;

par contre, si le phénomène El Niño n'est pas dominant une année, alors la probabilité qu'il soit dominant l'année suivante est 0,3.

On considère que l'année de référence est 2023.

On note pour tout entier naturel $n$:

$E_n$ l'événement « le phénomène El Niño est dominant l'année $2023 + n$ »;

$p_n$ la probabilité de l'événement $E_n$.

En 2023, El Niño n'était pas dominant. On a ainsi $p_0 = 0$.

1.

Soit $n$ un entier naturel. Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant:

Branche · Probabilité associée

$P(\overline{E_n})$

$P_{E_n}(E_{n+1})$

$P_{E_n}(\overline{E_{n+1}})$

$P_{\overline{E_n}}(E_{n+1})$

$P_{\overline{E_n}}(\overline{E_{n+1}})$

2.

Justifier que $p_1 = 0{,}3$.

3.

En vous aidant de l'arbre, montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a: $$p_{n+1} = 0{,}2p_n + 0{,}3$$

On cherche à prévoir l'évolution de l'apparition du phénomène El Niño.

4. a.

Conjecturer les variations et la limite éventuelle de la suite $(p_n)$.

4. b.

Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a: $p_n \le \dfrac{3}{8}$.

4. c.

Déterminer le sens de variation de la suite $(p_n)$.

4. d.

En déduire la convergence de la suite $(p_n)$.

On cherche à déterminer la limite de la suite $(p_n)$.

5. a.

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n = p_n - \dfrac{3}{8}$ pour tout entier naturel $n$.

Montrer que la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $0{,}2$ et préciser son premier terme.

5. b.

Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a: $p_n = \dfrac{3}{8}(1 - 0{,}2^n)$.

5. c.

Calculer la limite de la suite $(p_n)$.

5. d.

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.