Exercice 1 - Partie B · Bac Mathématiques Métropole 2 remplacement 2026

1. Calculer $P(G_2)$. On pourra utiliser un arbre de probabilité.

Réponse : $0{,}55$

2. a. En utilisant un raisonnement par récurrence, démontrer que pour tout $n \ge 1$, $p_n \le p_{n+1}$.

Réponse : Pour tout entier $n \ge 1$, notons $\mathcal{P}(n)$ la propriété : « $p_n \le p_{n+1}$ ». - Initialisation : pour $n = 1$, $p_1 = 0{,}5$ et $p_2 = 0{,}3 \times p_1 + 0{,}4 = 0{,}3 \times 0{,}5 + 0{,}4 = 0{,}55$. On a bien $0{,}5 \le 0{,}55$, soit $p_1 \le p_2$. La propriété $\mathcal{P}(1)$ est donc vraie. - Hérédité : supposons que pour un entier $k \ge 1$, la propriété $\mathcal{P}(k)$ soit vraie, c'est-à-dire $p_k \le p_{k+1}$. En multipliant par $0{,}3$ (avec $0{,}3 > 0$, le sens de l'inégalité ne change pas) : $$0{,}3p_k \le 0{,}3p_{k+1}$$ En ajoutant $0{,}4$ de chaque côté : $$0{,}3p_k + 0{,}4 \le 0{,}3p_{k+1} + 0{,}4$$ Or $p_{k+1} = 0{,}3p_k + 0{,}4$ et $p_{k+2} = 0{,}3p_{k+1} + 0{,}4$, donc : $$p_{k+1} \le p_{k+2}$$ La propriété $\mathcal{P}(k+1)$ est donc vraie. La propriété est héréditaire. - Conclusion : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n \ge 1$, $p_n \le p_{n+1}$.

2. b. Quel argument permet d'affirmer que la suite $(p_n)$ est majorée ?

Réponse : Pour tout entier $n \ge 1$, $p_n$ est la probabilité de l'évènement $G_n$. Par définition d'une probabilité, on a pour tout $n \ge 1$, $0 \le p_n \le 1$. La suite $(p_n)$ est donc majorée par 1.