Exercice 1 · Bac Mathématiques Métropole 2026 (sujet 2)

Exercice 1 (5 points)

Dans le repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points:

$$A(2\,;\,1\,;\,1),\quad B(3\,;\,-2\,;\,0),\quad C(0\,;\,-1\,;\,1)\quad\text{et}\quad D(0\,;\,0\,;\,2).$$

1.

Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.

2.a.

Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 4\end{pmatrix}$ est normal au plan $(ABC)$.

2.b.

En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est: $x - y + 4z - 5 = 0$.

$d =$

3.

Vérifier qu'une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $D$ et orthogonale au plan $(ABC)$ est donnée par:

$$\begin{cases} x = t \\ y = -t \\ z = 2 + 4t \end{cases} \quad \text{avec } t \in \mathbb{R}.$$

4.

Montrer que le projeté orthogonal de $D$ sur le plan $(ABC)$ est le point $H\left(-\frac{1}{6}\,;\,\frac{1}{6}\,;\,\frac{4}{3}\right)$.

$t =$

5.a.

Montrer que le triangle $ABC$ est isocèle en $B$.

$BA = BC =$

5.b.

Montrer que l'aire du triangle $ABC$ est $3\sqrt{2}$.

$\mathcal{A}_{ABC} =$

6.a.

En déduire que le volume du tétraèdre $ABCD$ est égal à $1$.

On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par: $V = \frac{1}{3}\mathcal{B}h$ où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à cette base.

$V =$

6.b.

On admet que la distance du point $A$ au plan $(BCD)$ est égale à $\sqrt{2}$.

En déduire l'aire du triangle $BCD$.

$\mathcal{A}_{BCD} =$

7. Dans cette question, on note $D_k$ le point ayant pour coordonnées $(0\,;\,0\,;\,k)$ où $k$ est un réel.

7.a.

Déterminer la valeur de $k$ pour laquelle les points $A$, $B$, $C$ et $D_k$ sont coplanaires. Quel est alors le projeté orthogonal du point $D_k$ sur le plan $(ABC)$ ?

$k =$

7.b.

Peut-on trouver une valeur de $k$ telle que $A$ soit le projeté orthogonal de $D_k$ sur le plan $(ABC)$ ?